Метод разложение числителя

Пример 1

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

На уроке Неопределенный интеграл. Примеры решений мы избавлялись от произведения функций в подынтегральном выражении, превращая её в сумму, удобную для интегрирования. Оказывается, что иногда в сумму (разность) можно превратить и дробь!

Анализируя подынтегральную функцию, мы замечаем, что и в числителе и в знаменателе у нас находятся многочлены первой степени:   и  .

Когда в числителе и знаменателе находятся многочлены одинаковой степени, то помогает следующий искусственный приём: в числителе мы должны самостоятельно организовать такое же выражение, что и в знаменателе:

Рассуждение может быть следующим: «В числителе мне надо организовать  , но если я прибавлю к «иксу» тройку, то, для того, чтобы выражение не изменилось – я обязан эту же тройку и вычесть».

Теперь можно почленно разделить числитель на знаменатель:

В результате мы добились, чего и хотели. Используем первые два правила интегрирования:

Готово. Проверку при желании выполните самостоятельно.

Обратите внимание, что   во втором интеграле – это «халявная» сложная функция, об особенностях ее интегрирования я рассказал на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

Кстати, рассмотренный интеграл можно решить и методом замены переменной, обозначая  , но запись решения получится значительно длиннее

Пример 2

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку. Это пример для самостоятельного решения. Следует заметить, что здесь метод замены переменной уже не пройдёт.

Внимание, важно! Примеры №№1,2 являются типовыми и встречаются часто. В том числе, подобные интегралы нередко возникают в ходе решения других интегралов, в частности, при интегрировании иррациональных функций (корней).

Рассмотренный приём работает и в случае, если старшая степень числителя, больше старшей степени знаменателя.

Пример 3

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Начинаем подбирать числитель.

Алгоритм подбора числителя примерно такой:

1) В числителе мне нужно организовать  , но там  . Что делать? Заключаю   в скобки и умножаю на  :  .

2) Теперь пробую раскрыть эти скобки, что получится?  . Хмм… уже лучше, но никакой двойки при   изначально в числителе нет. Что делать? Нужно домножить на  : 

3) Снова раскрываю скобки:  . А вот и первый успех! Нужный   получился! Но проблема в том, что появилось лишнее слагаемое  . Что делать? Чтобы выражение не изменилось, я обязан прибавить к своей конструкции это же  : . Жить стало легче. А нельзя ли еще раз в числителе организовать  ?

4) Можно. Пробуем:  . Раскрываем скобки второго слагаемого:  . Простите, но у меня вообще-то было на предыдущем шаге  , а не  . Что делать? Нужно домножить второе слагаемое на  :

5) Снова для проверки раскрываю скобки во втором слагаемом:  . Вот теперь нормально: получено   из окончательной конструкции пункта 3! Но опять есть маленькое «но», появилось лишнее слагаемое  , значит, я обязан прибавить к своему выражению  :

Если всё выполнено правильно, то при раскрытии всех скобок у нас должен получиться исходный числитель подынтегральной функции. Проверяем:  Гуд.

Таким образом:

Готово. В последнем слагаемом я применил метод подведения функции под дифференциал.

Если найти производную от ответа и привести выражение к общему знаменателю, то у нас получится в точности исходная подынтегральная функция  . Рассмотренный метод разложения   в сумму – есть ни что иное, как обратное действие к приведению выражения к общему знаменателю.

Алгоритм подбора числителя в подобных примерах лучше выполнять на черновике. При некоторых навыках будет получаться и мысленно. Припоминаю рекордный случай, когда я выполнял подбор для 11-ой степени, и разложение числителя заняло почти две строчки Вёрда.

Помимо алгоритма подбора можно использовать деление столбиком многочлена на многочлен, но, боюсь, объяснения займут еще больше места, поэтому как-нибудь в другой раз.

24.

25. Теорема об интегрировании неравенств. Если в любой точке   выполняется неравенство   , и функции f(x), g(x) интегрируемы по отрезку [a,b], то  .  Док-во. Для любого разбиения отрезка и любого выбора точек   при    . Переходя в этом неравенстве к пределу при  , получаем требуемое неравенство. 

Среднее значение

Теорема 5. Если f(x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b], то существует такая точка  , что

     (14)

     В самом деле, пусть M и m наибольшее и наименьшее значения f(x) на промежутке [a, b]. Составим для f(x) какую-нибудь интегральную сумму

     Так как при всех k будет m ≤ f(ξ_k) ≤ M, а x_k+1 > x_k, то m(x_k+1 - x_k) ≤ M(x_k+1 - x_k). Складывая такие неравенства и замечая, что

получим:

m(b - a) ≤ σ ≤ M(b - a).

     Переходя в этом неравенстве к пределу при λ → 0, приходим после деления на b - a к новому неравенству

     Таким образом, частное

есть число, лежащее между наибольшим и наименьшим значениями непрерывной функции. Как известно, тогда и само это число должно являться одним из значений той же функции. Поэтому в [a, b] обязательно существует такая точка ξ, что h = f(ξ), а это равносильно равенству (14).

     Заметим, что равенство (14) справедливо не только при a < b, но и при a = b (тогда обе части этого равенства нули), а также и при a > b (этот случай приводится к рассмотренному изменением знаков). В первом из этих случаев будет ξ = a, а во втором a ≥ ξ ≥ b.

     Теорему 5 обычно называют теоремой о среднем значении. Из нее вытекает ряд свойств интеграла, выражающихся неравенствами.

26. Производная интеграла с переменным верхним пределом

Производная интеграла с переменным верхним пределом

Если в определенном интеграле   изменять верхний предел b, то будет меняться и значение интеграла, то есть интеграл будет функцией верхнего предела. Обозначим верхний предел x, а переменную интегрирования, чтобы не смешивать ее с верхним пределом, обозначим t. Таким образом, интеграл с переменным верхним пределом является функцией от x:  . Имеет место теорема: производная интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена верхним пределом:  Доказательство. По определению производной  где    [первый интеграл представим в виде суммы двух интегралов, пользуясь свойством аддитивности]=   [по теореме о среднем]=  где    Тогда следует из определения непрерывной функции, т.к. при    . Таким образом,  Это значит, что интеграл с переменным верхним пределом   является первообразной для функции  .

27.Формула ньютона-лейбница

Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной.

Если   непрерывна на отрезке   и   — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

28.Замена переменной в определенном интеграле

При вычислении определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница предпочтительно жестко не разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подынтегральной функции, нахождение приращения первообразной). Такой подход, использующий, в частности, формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла, обычно позволяет упростить запись решения.

ТЕОРЕМА. Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α,β], а=φ(α), в=φ(β) и функция f(х) непрерывна в каждой точке х вида х=φ(t), где t [α,β].

Тогда справедливо следующее равенство:

Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

Подобно тому, как это было в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному (табличным). При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования α и β по новой переменной t как решение относительно переменной t уравнений φ(t)=а и φ(t)=в. На практике, выполняя замену переменной, часто начинают с того, что указывают выражение t=ψ(х) новой переменной через старую. В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной t упрощается: α=ψ(а), β=ψ(в).

Пример 19. Вычислить 

Положим t=2-х². Тогда dt=d(2-х²)=(2-х²)'dx=-2xdx и xdx=- dt. Если х=0, то t=2-0²=2, и если х=1, то t=2-1²=1. Следовательно:

29.Интегрирование по частям

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для определённого:

Предполагается, что нахождение интеграла   проще, чем  . В противном случае применение метода неоправдано.