- •Свойства неопределенных интегралов
- •Тригонометрическая и показательная формы
- •Теорема Безу
- •Доказательство.
- •Теорема о разложении многочлена на линейные множители
- •Определение
- •Примеры
- •[Править]Конечные поля
- •Метод разложение числителя
- •Для определённого интеграла
- •41. Свойства функций, непрерывных в ограниченной и замкнутой области.
- •42 Частные производные, их геометрический смысл.
- •43 Частные производные высших порядков . Теорема о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.
- •44 Касательная плоскость к поверхности, определяемой графиком функции двух переменных . Её уравнение и нормаль к поверхности.
- •45 Полный дифференциал. Достаточное условие дифференцируемости. Свойства полного дифференциала
- •46 Геометрический смысл дифференциала. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях.
- •47 Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
- •48 Дифференцирование сложных функций . Полная производная.
- •49Дифференцирование сложных функций . Общий случай (Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах)
- •50 Неявные функции одной переменной . Их дифференцирование
- •52 Уравнение касательной к кривой, задаваемой неявной функцией
- •53 Уравнение касательной плоскости к поверхности, задаваемой неявной функцией
- •54 Экстремум функций нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия.
- •55 Нахождение наибольших и наименьших значений функции нескольких переменных.
Тригонометрическая и показательная формы
Если вещественную и мнимую части комплексного числа выразить через модуль и аргумент ( , ), то всякое комплексное число , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме
Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:
где — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.
Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:
16.Многочлены и их корни.
Многочлен (или полином) от n переменных — это конечная формальная сумма вида
,
где есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс), — число (называемое «коэффициент многочлена»), зависящее только от мультииндекса I.
В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида
где фиксированные коэффициенты, а — переменная.
С помощью многочлена выводятся понятия алгебраическое уравнение и алгебраическая функция.
Корень многочлена (не равного тождественно нулю)
над полем k — элемент , такой что выполняются два следующих равносильных условия:
данный многочлен делится на многочлен ;
подстановка элемента c вместо x обращает уравнение
в тождество.
Равносильность двух формулировок следует из теоремы Безу. В различных источниках любая одна из двух формулировок выбирается в качестве определения, а другая выводится в качестве теоремы.
Теорема Безу
При делении многочлена f (x) = A0xn + A1xn-1 + … + An на разность х – а получается остаток, равный f (а). Доказательство. При делении f (x) на х – а частным будет многочлен f1(x), степень которого будет на единицу ниже степени многочлена f (x) и остаток, который будет постоянным числом: f (x) = (х – а )·f1(x) + R. Переходя к пределу в левой и правой части этого равенства при х → а, получим R = f(а). Если х = а — корень многочлена, то f (а) = 0 и многочлен f (x) нацело делится на разность х – а и многочлен представляется в виде
f (x) = ( х – а )·f1 (x),
где f1 (x) — многочлен.
Основна́ятеоре́маа́лгебры утверждает, что
Всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел.
Эквивалентная формулировка теоремы следующая:
Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто.
У многочлена есть корень , значит, по теореме Безу, он представим в виде , где — другой многочлен. Применим теорему к и будем применять её таким же образом до тех пор, пока на месте не окажется линейный множитель.
Доказательство.
Представим полином в виде суммы , где , . Составим соотношение . Легко видеть, что для любых коэффициентов всегда найдется такое значение , что для всех значений имеет место неравенство . В силу теоремы Руше следует, что полное число нулей функции в круге равно числу нулей в этом круге функции . Но функция на всей комплексной плоскости имеет один единственный n-кратный корень . Отсюда, в силу произвольности и следует утверждение теоремы.