Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную и мнимую части комплексного числа выразить через модуль и аргумент ( , ), то всякое комплексное число , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:

где — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

16.Многочлены и их корни.

Многочлен (или полином) от n переменных — это конечная формальная сумма вида

где есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс), — число (называемое «коэффициент многочлена»), зависящее только от мультииндекса I.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

где фиксированные коэффициенты, а — переменная.

С помощью многочлена выводятся понятия алгебраическое уравнение и алгебраическая функция.

Корень многочлена (не равного тождественно нулю)

над полем k — элемент , такой что выполняются два следующих равносильных условия:

данный многочлен делится на многочлен ;
подстановка элемента c вместо x обращает уравнение

в тождество.

Равносильность двух формулировок следует из теоремы Безу. В различных источниках любая одна из двух формулировок выбирается в качестве определения, а другая выводится в качестве теоремы.

Теорема Безу

При делении многочлена f (x) = A₀xⁿ + A₁x^n-1 + … + A_n на разность х – а получается остаток, равный f (а). Доказательство. При делении f (x) на х – а частным будет многочлен f₁(x), степень которого будет на единицу ниже степени многочлена f (x) и остаток, который будет постоянным числом: f (x) = (х – а )·f₁(x) + R. Переходя к пределу в левой и правой части этого равенства при х → а, получим R = f(а). Если х = а — корень многочлена, то f (а) = 0 и многочлен f (x) нацело делится на разность х – а и многочлен представляется в виде

f (x) = ( х – а )·f₁ (x),

где f₁ (x) — многочлен.
Основна́ятеоре́маа́лгебры утверждает, что
Всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел.
Эквивалентная формулировка теоремы следующая:
Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто.
У многочлена есть корень , значит, по теореме Безу, он представим в виде , где — другой многочлен. Применим теорему к и будем применять её таким же образом до тех пор, пока на месте не окажется линейный множитель.
Доказательство.
Представим полином в виде суммы , где , . Составим соотношение . Легко видеть, что для любых коэффициентов всегда найдется такое значение , что для всех значений имеет место неравенство . В силу теоремы Руше следует, что полное число нулей функции в круге равно числу нулей в этом круге функции . Но функция на всей комплексной плоскости имеет один единственный n-кратный корень . Отсюда, в силу произвольности и следует утверждение теоремы.