Теорема о разложении многочлена на линейные множители

   Всякий многочлен n – ой степени разлагается на n линейных множителей вида х – а и множитель, равный коэффициенту при старшей степени xⁿ.    Доказательство. Пусть f (x) = A₀xⁿ + A₁x^{n - 1} + … + A_n — многочлен n – ой степени. Этот многочлен в силу основной теоремы алгебры имеет один корень а₁. Тогда из следствия теоремы Безу будем иметь f (x) = (х – а₁)·f₁ (x), где f₁ (x) — многочлен степени n - 1. Многочлен f₁ (x) тоже имеет корень а₂.    Тогда f₁ (x) = (х – а₂ )·f₂ (x), где f ₂ (x) — многочлен степени n – 2. Аналогично f₂ (x) = (х – а₃)·f₃ (x). Продолжая процесс выделения линейных множителей, дойдём до соотношения f_n(x) = (х – а _n )·f_n, где f_n — число (многочлен нулевой степени), и это число равно коэффициенту при хⁿ, то есть f_n = А₀. На основании всех этих равенств можно записать

f (x) = А₀·( х – а ₁)·( х – а₂)· … ·( х – а_n).

17.Разложение многочлена с действительными коэффицентами на неприводимые множетели

Неприводимый многочлен — многочлен, неразложимый на нетривиальные (неконстантные) многочлены. Неприводимые многочлены являются неприводимыми элементами кольца многочленов.

Определение

Неприводимый многочлен над полем   ― многочлен   от   переменных над полем   является простым элементом кольца  , то есть, непредставим в виде произведения  , где   и   ― многочлены с коэффициентами из  , отличные от констант.

Многочлен называется абсолютно неприводимым, если он неприводим над алгебраическим замыканием поля коэффициентов. Абсолютно неприводимые многочлены одной переменной ― это многочлены 1-й степени и только они. В случае нескольких переменных существуют абсолютно неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени — например, любой многочлен вида

абсолютно неприводим.

Примеры

Следующие пять многочленов демонстрируют некоторые элементарные свойства неприводимых многочленов:

,

,

,

,

.

Над кольцом   целых чисел, первые два многочлена — приводимые, последние два — неприводимые. (Третий вообще не является многочленом над целыми числами).

Над полем   рациональных чисел, первые три многочлена являются приводимыми, двое других — неприводимыми.

Над полем   действительных чисел, первые четыре многочлена — приводимые, но   является неприводимым. В поле действительных чисел неприводимыми являются линейные многочлены и квадратичные многочлены без действительных корней. Например разложение многочлена   в поле действительных чисел имеет вид  . Оба множителя в данном разложении являются неприводимыми многочленами.

Над полем   комплексных чисел, все пять многочленов — приводимые. Фактически, каждый отличный от константы многочлен   над   может быть разложен на множители вида:

где   — степень многочлена,   — старший коэффициент,   — корни  . Поэтому единственными неприводимыми многочленами над   являются линейные многочлены (основная теорема алгебры).

[Править]Конечные поля

Многочлены с целочисленными коэффициентами, которые являются неприводимыми над полем   могут быть приводимыми над конечным полем. Например, многочлен   является неприводимым над  , но над полем   из двух элементов мы имеем:

18.Интегрирование по частям.