Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть известна функция   и требуется найти длину дуги, заданной функцией   , где   .

Для определения длины дуги   необходимо вычислить определенный интеграл:

Рассмотрим случай параметрического задания кривой:

где   . В этом случае для определения длина дуги   вычисляется определенный интеграл:

Рассмотрим случай, когда кривая задается в полярных координатах   где  . Тогда для определения длины дуги   вычисляется следующий определенный интеграл:

48

Рассмотрим криволинейную трапецию, т.е. фигуру, образованную прямыми   ,   , осью   и функцией   .

Требуется найти объем тела вращения, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси   .

Объем данного тела вычисляется по формуле, содержащей определенный интеграл:

Если криволинейная трапеция прилежит к оси   (прямые   ,   , ось   и функция   ), тогда объем тела также определяется по формуле, содержащей интеграл:

49

 Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Пусть функция f(x) определена на полуоси   и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла   при   называется несобственным интегралом функции f(x) от a до   и обозначается  .  Итак, по определению,  . Если этот предел существует и конечен, интеграл   называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся. 

Очевидно следующее утверждение, которое мы сформулируем для интеграла с бесконечным верхним пределом:   сходится тогда и только тогда, когда для любого c, удовлетворяющего неравенству c > a, сходится интеграл   (док-во: так как при a < c < b по свойству аддитивности  , и   от b не зависит, то конечный предел при   для интеграла в левой части существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел для интеграла в правой части равенства). 

50

Пусть на полуинтервале   задана функция   , интегрируемая на любом отрезке, принадлежащем данному интервалу, однако не интегрируемая на отрезке   . В точке   эта функция может быть вовсе не определена и стремиться к   , либо вовсе не иметь никакого предела. Рассмотрим функцию

она определена при   . Эта функция может иметь предел при  (левосторонний предел). Этот предел будем называть значением интеграла от   по всему полуинтервалу   и обозначать в точности:

Определение. Пусть функция   удовлетворяет указанным выше условиям на   . Несобственным интегралом второго рода назовём определенный интеграл

значение которого равняется левостороннему пределу

Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предела не существует, то расходящимся. Расходящемуся интегралу не приписывается никакого числового значения.

51

ГАММА-ФУНКЦИЯ,

Г-функция,- трансцендентная функция   , распространяющая значения факториала   на случай любого комплексного   Г.-ф. введена Л. Эйлером [(L. Euler), 1729, письмо к X. Гольдбаху (Ch. Goldbach)] при помощи бесконечного произведения 

иа к-рого Л. Эйлер получил интегральное представление ( эйлеров интеграл второго рода)

верное для   . Многозначность функции   устраняется формулой   с действительным In х.Обозначение Г(z) и назв. Г.-ф. были предложены А. М. Лежандром (А. М. Legendre, 1814).

Если   и   то Г.-ф. может быть представлена интегралом Коши- Зальшюца:

На всей плоскости z с выброшенными точками z=0, - 1, -2, ... для Г.-ф. справедливо интегральное представление Ганкеля:

где   причем In sесть ветвь логарифма, для к-рой  ; контур Сизображен на рис. 1. Из представления Ганкеля видно, что   - мероморфная функция. В точках   она имеет простые полюсы с вычетами  !

51

В математике термин евкли́дово простра́нство может обозначать один из двух сходных объектов:

1. Конечномерное вещественное векторное пространство   с введённой на нём нормой

где  . Также назывется конечномерным гильбертовым пространством

2. Метрическое пространство, которое является конечномерным векторным пространством   над полемвещественных чисел с метрикой, введённой по формуле:

где   и 

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства   размерности n = 1 (вещественная прямая) и   размерности n = 2 (комплексная плоскость или евклидова плоскость).

Определение 1.1 Если каждой совокупности значений "n" переменных

из некоторого множества D этих совокупностей соответствует своё единственное значение переменной z, то говорят, что на множестве D задана функция

"n" переменных.

Множество D, указанное в определении 1.1, называется областью определяния илиобластью существования этой функции.

52