Доказательство

Пусть a - конечное число. Если функции f, g непрерывны при x = a, то по условию теоремыf(a) = g(a) = 0. Если функции f, g не определены при x = a, то, в силу  данные функции можно доопределить нулями.

Возьмем число x > a так, чтобы функции f, g были непрерывны на [a, b], дифференцируемы на (a, x], и g ' (x) ≠ 0 на (a, x].

По теореме Коши 

Так как f(a) = g(a) = 0, то имеем  . Устремим x к a , тогда c также устремится к a, и

Для случая, когда a – конечное число, теорема доказана.

Пусть теперь a = ∞. Заменим x на t : x = 1/ t . В результате получим функции F(t) = f(1/t), G(t) = g(1/t) аргумента t. В окрестности t = 0 функции F, G удовлетворяют условиям теоремы, а из доказанного выше следует, что .

Так как   то получаем

Теорема доказана

Теорема 18. (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида  ).

Пусть функции y = f(x), y = g(x) непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности числа a (a может равняться ∞), за исключением a.

Кроме этого, пусть  .

Тогда, если 

Если правило Лопиталя, примененное к функциям f, g, не приводит к раскрытию неопределенности, то можно попробовать применить правило Лопиталя к производным f', g', а если необходимо, то и к f'', g'' и т.д.

19.20

7.7.1. Формула Тейлора для многочленов.

 Рассмотрим эту задачу в общем случае: пусть 

выразим коэффициенты этого многочлена через его производные в точке х0. Взяв х = х0, получим  . Дифференцируем  :

Следовательно,  . Находим вторую производную  :

 Следовательно,  . Находим третью производную  :

Следовательно,  . Далее, находя четвёртую производную, получим   и т.д. Окончательно:  , i = 0,1,2,…,n, и

Эта формула и называется формулой Тейлора для многочленов. (Под производной функции f(x) нулевого порядка понимается сама функция f(x); напомним, что 0! = 1 по определению).

7.7.2. Формула Тейлора для произвольной функции. Пусть теперь f(x) - произвольная функция, которая в точке х0 имеет производные всех порядков до n-го включительно. Построим с помощью производных этой функции многочлен Тейлора n-ой степени:

 

Значения этого многочлена и его производных до n-го порядка в точке х0 совпадают с производными функции f(x):  = f(x0),  , однако, если f(x) - произвольная функция, мы не можем утверждать, что  ; многочлен   лишь даёт некоторое приближение к f(x). Разность

   

называется остаточным членом формулы Тейлора и характеризует погрешность этого приближения. Функция Rn(x) обладает тем свойством, что и сама Rn(x), и все её производные вплоть до n-го порядка в точке х0 равны нулю.

 Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0:

 

 

Мы получили так называемую формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.

  Следует отметить, что при разложении функции в ряд применение формулы Маклорена предпочтительнее, чем применение непосредственно формулы Тейлора, т.к. вычисление значений производных в нуле проще, чем в какой- либо другой точке, естественно, при условии, что эти производные существуют.

[an error occurred while processing this directive]

 Однако, выбор числа а очень важен для практического использования. Дело в том, что при вычислении значения функции в точке, расположенной относительно близко к точке а, значение, полученное по формуле Тейлора, даже при ограничении тремя – четырьмя первыми слагаемыми, совпадает с точным значением функции практически абсолютно. При удалении же рассматриваемой точки от точки а для получения точного значения надо брать все большее количество слагаемых формулы Тейлора, что неудобно.

 Т.е. чем больше по модулю значение разности (х – а) тем более точное значение функции отличается от найденного по формуле Тейлора.

 Кроме того, можно показать, что остаточный член R_n+1(x) является бесконечно малой функцией при ха, причем долее высокого порядка, чем (х – а)^m, т.е.

 

.

 Таким образом, ряд Маклорена можно считать частным случаем ряда Тейлора.

 21.

 Разложение функций e^x, cos x, sin x по формуле Маклорена

Разложение функции e^x

Так как (e^x)' = e^x, то производная любого порядка функции e^x равна e^x. При x = 0 функцияe^x и ее производные любого порядка равны одному. Таким образом, формула Маклорена для функции e^x имеет вид

Отметим, что для любого вещественного числа x остаточный член

В самом деле, если x – фиксированное число, то, начиная с некоторого положительного целого числа N, для любого n > N имеем

Следовательно

так как q < 1, а величина   является постоянной при любом n. Таким образом, значения функции e^x могут быть найдены приближенно по формуле:

Пример. Найти число, отличающееся от числа e не более, чем на 0,001.

Решение. Число e приближенно можно найти по формуле: 

Вначале определим число n, гарантирующее нахождение числа e с заданной точностью. Для этого оценим значение остаточного члена  .

Заметив, что e^θ < 3 при θ   (0, 1), получаем

Следовательно, для достижения заданной точности надо взять n = 6.

Теперь находим 

Разложение функции cos x

Находим последовательно производные от f(x) = cos x.

При x = 0 получаем

Следовательно, формула Маклорена для функции cos x имеет вид

Так как  , то

для любого фиксированного вещественного числа x. Таким образом, значения функцииcosx могут быть найдены приближенно по формуле

Разложение функции sin x

Формула Маклорена для функции sin x находится аналогично формуле Маклорена для cos x

Причем

для любого фиксированного вещественного числа x.

22.

Теорема 22.1. Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a;b) функция   возрастала (убывала) на этом интервале достаточно, чтобы производная   была положительной (отрицательной) всюду на этом интервале.

Доказательство. Рассмотрим случай, когда  . Пусть x1 и x2 - любые две точки интервала (a;b), удовлетворяющие условию  . На отрезке   функция   дифференцируема, а, следовательно, непрерывна. Поэтому к ней можно применить формулу Лагранжа:

  ,

где  .

По условию  . Поэтому   или  , т.е. функция   возрастает на интервале (a;b). Случай, когда  , рассматривается аналогично.

Теорема доказана.

Из последней теоремы следует, что отличие от нуля производной является достаточным условием строгой монотонности функции. Однако это условие не является необходимым. Так, например, функция   возрастает на любом интервале действительной оси, но при x=0 производная этой функции обращается в нуль (рис. 6). Следующая теорема устанавливает необходимое и достаточное условие монотонности функции.

Теорема 22.2. Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a;b) функция    не убывала (не возрастала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы производная этой функции была неотрицательной (неположительной) всюду на этом интервале.

Доказательство. 1) Докажем достаточность. Пусть  . Рассмотрим любые две точки x1 и  x2 интервала (a;b), удовлетворяющие условию  . Повторяя рассуждения из доказательства предыдущей теоремы, получим:

  ,

где  .

Так как по условию  , то  , или  , т.е. функция   не убывает (не возрастает) на интервале (a;b).

2) Докажем необходимость. Пусть функция   дифференцируема и не убывает (не возрастает) на интервале (a;b). Так как эта функция не убывает (не возрастает) на интервале (a;b), то она не может убывать (возрастать) ни в одной точке интервала (a;b). Поэтому, как следует из теоремы 16.1, производная   ни в одной точке интервала (a;b) не может быть отрицательной (положительной).

Теорема доказана.

23.24.