Свойства частных решений однородного линейного дифференциального уравнения высшего порядка

Свойство 1. Если y = y₁(x) –  частное решение однородного уравнения

y⁽ⁿ⁾ + a₁ y^(n-1) + a₂ y^(n-2)+...+a_n y = 0,   (2)

то функция  y = cy₁(x)   (где с = const) тоже является частным решением этого ДУ.

Свойство легко доказывается непосредственной подстановкой этой функции в ДУ (2):

cy⁽ⁿ⁾ + a₁ cy^(n-1) + a₂ cy^(n-2)+...+a_n cy = c (y⁽ⁿ⁾ + a₁ y^(n-1) + a₂ y^(n-2)+...+a_n y) = 0.

Таким образом, зная одно частное решение, мы можем получить целое семейство решений.

Свойство 2. Если y = y₁(x)   и y = y₂(x) –  частные решения ДУ (2), то их линейная комбинация

y = c₁y₁+c₁y₂   (c₁, c₂ –  произвольные константы) также является решением ДУ (2).

И вообще, если y = y₁(x)   , y = y₂(x), … , y = y_m(x)   –  частные решения ДУ (2), то функция , где c_i–  произвольные константы, также является частным решением ДУ (2) (это свойство также доказывается непосредственной подстановкой).

Определение 1. Функции y₁(x), y₂(x), … , y_n(x) называются линейно зависимыми на отрезке [ а, b ] , если существуют действительные числа m₁, m₂, … , m_n  не все равные нулю, такие, что для всех х   [ а, b ] выполняется тождество

и называются линейно независимыми, если тождество выполняется лишь в случае, когда m₁= m₂= … = m_n = 0.

Практически определить линейную зависимость или независимость частных решений y₁, y₂, … , y_n ДУ можно, используя определитель Вронского (Вронскиан):

.

В случае линейной зависимости функций y₁, y₂, … , y_n определитель Вронского тождественно равен нулю, в случае их линейной независимости –  определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке отрезка [ а, b ] .

Определение 2. Система функций y₁(x), y₂(x), … , y_n(x) называется фундаментальной системой решений уравнения (2), если

1. порядок ДУ равен n (числу функций y_i);

2. система этих функций линейно независима.

67

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

Здесь a(x) и b(x) — известные, непрерывные на [a;b] функции.

Доказано, что если функции a(x) и b(x) непрерывны на [a;b] , то для любой начальной точки (x₀, y₀) , x₀∈ [a; b] , задача Коши

имеет единственное решение y = y(x) на [a;b].

 

Рассматривают однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка:

 

68

Рассмотрим на [a; b] линейное однородное дифференциальное уравнение

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = 0.

Общим решением этого уравнения на отрезке [a;b] называется функция y = Φ(x, C₁,..., C_n ), зависящая от n произвольных постоянныхC₁,..., C_n и удовлетворяющая следующим условиям :

− при любых допустимых значениях постоянных C₁,..., C_n функция y = Φ(x, C₁,..., C_n ) является решением уравнения на [a; b] ;

− какова бы ни была начальная точка (x₀, y₀, y_1,0 ,..., y_{n − 1,0} ) , x₀∈ [a;b] , существуют такие значения C₁ =C₁₀ , ..., C_n = C_n0 , что функцияy = Φ(x, C₁₀ , ..., C_n0) удовлетворяет начальным условиям y(x₀) = y₀, y '(x₀) = y_1,0 ,..., y^{(n − 1)} (x₀) = y_{n− 1,0} .

Справедливо следующее утверждение ( теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения).

Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнениния непрерывны на отрезке [a;b] , а функцииy₁(x), y₂(x),..., y_n(x) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения, то общее решение уравнения имеет вид

y(x,C₁,..., C_n) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + ... + C_n y_n(x),

где C₁,...,C_n — произвольные постоянные.

69

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида

где p, q − постоянные коэффициенты.  Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение:

Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:

1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения k₁ и k₂ действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией

где C₁ и C₂ − произвольные действительные числа. 

2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k₁ второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k₁ = α + βi, k₁ = α − βi. Общее решение записывается в виде

70

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = f(x).

Общим решением этого уравнения на отрезке [a;b] называется функция y = Φ(x, C₁,..., C_n ), зависящая от n произвольных постоянныхC₁,..., C_n и удовлетворяющая следующим условиям :

− при любых допустимых значениях постоянных C₁,..., C_n функция y = Φ(x, C₁,..., C_n ) является решением уравнения на [a; b] ;

− какова бы ни была начальная точка (x₀, y₀, y_1,0 ,..., y_{n − 1,0} ) , x₀∈ [a;b] , существуют такие значения C₁ =C₁₀ , ..., C_n = C_n0 , что функцияy = Φ(x, C₁₀ , ..., C_n0) удовлетворяет начальным условиям y(x₀) = y₀, y '(x₀) = y_1,0 ,..., y^{(n − 1)} (x₀) = y_{n− 1,0} .

Справедливо следующее утверждение ( теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения).

Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнениния непрерывны на отрезке [a;b] , а функцииy₁(x), y₂(x),..., y_n(x) образуют фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения имеет вид

y(x,C₁,..., C_n) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + ... + C_n y_n(x) + y*(x),

где C₁,...,C_n — произвольные постоянные, y*(x) — частное решение неоднородного уравнения.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с непрерывными на (e, ∞) коэффициентами и непрерывной правой частью

частным решением которого является функция

Фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения образуют функции y₁(x) = ln x , y₂(x) = x.

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид

71

Рассмотрим дифференциальное уравнение

,                                   (10)

где  - вещественные постоянные, f(x) – известная функция. Общее решение неоднородного уравнения  представляет собой сумму общего решения однородного уравнения  и частного решения неоднородного уравнения  , т.е.  .

Метод нахождения общего решения однородного уравнения с постоянными коэффициентами (8) подробно рассмотрен в предыдущем пункте. Для уравнения с постоянными коэффициентами, правые части которых имеют специальный вид, существует способ нахождения частного решения, который называется методом подбора форм частного решения.

Правая часть уравнения (10) f(x)= (x) – многочлен n-й степени. В этом случае частное решение следует искать в виде  , где - многочлен той же степени, что и многочлен  , но с неизвестными коэффициентами, а - число корней характеристического уравнения, равных 0.

Метод вариации постоянных

Если общее решение y₀ ассоциированного однородного уравнения известно, то общее решение неоднородного уравнения можно найти, используя метод вариации постоянных.  Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

Вместо постоянных C₁ и C₂ будем рассматривать вспомогательные функции C₁(x) и C₂(x). Будем искать эти функции такими, чтобы решение

удовлетворяло неоднородному уравнению с правой частью f(x).  Неизвестные функции C₁(x) и C₂(x) определяются из системы двух уравнений:

72

Метод неопределенных коэффициентов

Правая часть f(x) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию, или некоторую комбинацию указанных функций. В этом случае решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов.  Подчеркнем, что данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как

1. 

2.   где P_n(x) и Q_m(x) − многочлены степени n и m, соответственно.

В обоих случаях выбор частного решения должен соответствовать структуре правой части неоднородного дифференциального уравнения.  В случае 1, если число α в экспоненциальной функции совпадает с корнем характеристического уравнения, то частное решение будет содержать дополнительный множитель x^s, где s − кратность корня α в характеристическом уравнении.  В случае 2, если число α + βi совпадает с корнем характеристического уравнения, то выражение для частного решения будет содержать дополнительный множитель x.  Неизвестные коэффициенты можно определить подстановкой найденного выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

73

 Основные понятия

Системой ДУ называется совокупность ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их производные.

Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей n искомых функций у₁, у₂,..., у_n, следующий:

Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно производной, т. е. система вида

называется нормальной системой ДУ. При этом предполагается, что число уравнений равно числу искомых функций.

Решением  системы (6.1) называется совокупность из n функций y₁, y₂, ... ,y₃, удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.

Начальные условия для системы (6.1) имеют вид

Задача Коши для системы (6.1) ставится следующим образом: найти решение системы (6.1), удовлетворяющее начальным условиям (6.2).

Условия существования и единственности решения задачи Коши описывает следующая теорема, приводимая здесь без доказательства.

Теорема 6.1 (Коши). Если в системе (6.1) все функции непрерывны вместе со всеми своими частными производными по y_i в некоторой области D ((n+1)-мерного пространства), то в каждой точке этой области существует, и притом единственное, решение      системы, удовлетворяющее начальным условиям (6.2).

Меняя в области D точку М_о (т. е. начальные условия), получим бесчисленное множество решений, которое можно записать в виде решения, зависящего от n произвольных постоянных:

Это решение является общим, если по заданным начальным условиям (6.2) можно однозначно определить постоянные c₁, с₂,..., с_n из системы уравнений

Решение, получающееся из общего при конкретных значениях постоянных c₁, с₂,..., с_n, называется частным решением системы (6.1).

74

Системы дифференциальных уравнений n–го порядка можно решать сведением к уравнению n–го порядка. Такой метод решения систем называется методом исключения.

Рассмотрим, например, нормальную систему дифференциальных уравнений 2 –го порядка

Исключим функцию y₂. Для этого сначала выразим y₂ через x и y₁ из первого уравнения системы , затем продифференцируем по xпервое уравнение системы, заменяя y₂ полученным для него выражением, а производную y₂ − правой частью второго уравнения системы:

Получили обыкновенное дифференциальное уравнение 2 –го порядка

 

Таким же образом решают методом исключения произвольные системы n–го порядка: дифференцируют уравнения системы и, последовательно исключая функции y₂, ..., y_n и их производные, сводят систему к одному дифференциальному уравнению n–го порядка относительно y₁.

75

 Если для  системы (12.1)  известна  система линейно независимых частных реше-ний  (фундаментальная система решений):

                              

тогда общее решение имеет вид    .                                               (12.2)

            Частные решения ищем в виде :   .  После подстановки   в систему  и сокращении на    получаем систему уравнений для определения неизвестных   :                                                          (12.3)

            Чтобы эта однородная  линейная система алгебраических уравнений имела ненулевое решение должно выполняться условие :

                                                              =0                                              (12.4)

Уравнение  (12.4) называется характеристическим уравнением, а его корни  -

характеристическими числами.

76

 Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция f (t) действительного аргумента t, удовлетворяющая условиям:

1. f (t) интегрируема на любом конечном интервале оси t;

2. f (t)=0 для всех отрицательных t;

3.  f (t) возрастает не быстрее показательной функции, т. е. существуют такие постоянные М и ₀, что |f(t)|<Me^{0t для всех t.}

Изображением функции  f (t) (по Лапласу) называется функция F(p) комплексного переменного p= +i , определяемая равенством

.

Тот факт, что F(p) есть изображение  f (t), будем символически записывать так:

.

Для любой функции-оригинала  f (t) изображение определено в полуплоскости Rep>₀ и является в этой полуплоскости аналитической функцией.

Из определения изображения следуют его простейшие свойства:

1. Линейность. Для любых комплексных постоянных a и b

(здесь и далее считать f(t)=F(p), g(t)=G(p)).

2.Теорема подобия. Для любого постоянного a >0

.

3. Дифференцирование оригинала. Если функции f (t), f(t) , f (t),…, f ⁽ⁿ⁾(t) являются функциями-оригиналами и f(t)=F(p), то

,

,

,

где под f ^(k)(0), (k= 1, 2,…, n-1) понимается  .

4. Дифференцирование изображения. Дифференцирование изображения сводится к умножению на (-t) оригинала

или вообще

.

5. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на р, т. е. если f(t)=F(p), то

.

6. Интегрирование изображения. Если интеграл  сходится, то он служит изображением функции

.

7.Теорема смещения. Если f(t)=F(p), то для любого комплексного р₀

.

8.Теорема запаздывания. Если f(t)=F(p), то для любого t >0

.

77

   20.2.3. Теорема смещения. Если f (t) F(p), то e ^α t f (t) F(p − α),. Здесь α - произвольное комплексное число.          Док-во.  .          Иллюстрации применения этого свойства: если  , то  ; если  , то   и т.д.          20.2.4. Теорема запаздывания. Е сли f (t) F( p) (т.е. f (t) · η(t) F( p)), то f (t − t₀) · η(t − t₀) e ^−t₀ ^· p · F( p) для любого числа t₀ ≥ 0.         Док-во.      .          Теорема запаздывания применяется для изображения функций импульсных, составных, периодических. Рассмотрим этот вопрос подробнее. 

78

Оригинал	Изображение

79