Решение дифференциальных уравнений и их систем операционным методом

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ)  -го порядка с постоянными коэффициентами

, (1)

где  ,  , функция   непрерывна на  .

Будем искать решение задачиКоши уравнения (1) с начальными условиями

,   , …,  ,  .

Если правая часть уравнения(1)   является оригиналом, то и его решение   также будет оригиналом.

Пусть   и   . Умножив каждое слагаемое уравнения (1) на   и проинтегрировав на  , получим

. (2)

Применив свойство дифференцирования оригинала и его следствие, получим уравнение, равносильное уравнению (2),

,

или

 (3)

Определение. Уравнение (3) называется вспомогательным уравнением для ЛНДУ (1).

Из уравнения (3) алгебраически можно выразить  , а затем найти оригинал  .

Оригинал   является решением задачи Коши уравнения (1) с заданными начальными условиями.

Замечание. Если  , то вспомогательное уравнение (3) имеет решение

.