Производная обратной функции

Пусть   -- непрерывная функция, монотонная на интервале  . Тогда, как мы доказали в гл. 3, функция   имеет обратную функцию  , которая также является непрерывной и монотонной функцией на интервале  , в который функция   переводит интервал  . Пусть   -- фиксированная точка и   -- точка, ей соответствующая. Тогда  .

        Теорема 4.5   Пусть функция   имеет в точке   производную  . Тогда обратная функция   имеет в соответствующей точке  производную  , которую можно отыскать по формуле

(4.14)

        Доказательство.     Дадим аргументу   приращение  , такое что  , и рассмотрим соответствующее приращение  , определяемое равенством  . Тогда, очевидно,  ; при этом  , а из монотонности функции   следует, что  . Поскольку как функция  , так и функция  непрерывны, то условия   и   эквивалентны. Составим теперь разностное отношение для функции   и запишем для него очевидное равенство:

Теперь перейдём в этом равенстве к пределу при   и учтём, что при этом   тоже стремится к 0:

что мы и хотели доказать.      

Заметим, что, очевидно, из формулы (4.14) следует, что

(4.15)

если   -- функция, обратная к  .

8.

Производные от обратных тригонометрических функций

9.10

Теорема Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют в точке x производные, то сумма (разность), произведение и частное этих функций также имеют производные в этой точке, и справедливы следующие формулы: 1) (u±v)/=u/±v/, 2) (u·v)/=u/v+v/u, 3) (vu)=v2u/v−v/u .

Доказательство Из определения производной:

(u±v)/=limΔx→0Δx[u(x+Δx)±v(x+Δx)]−[u(x)±v(x)]= =limΔx→0Δx[u(x+Δx)−u(x)]±[v(x+Δx)−v(x)]=  .    

=limΔx→0Δxu(x+Δx)−u(x)±limΔx→0Δxv(x+Δx)−v(x)=u/±v/

(u·v)/=limΔx→0Δxu(x+Δx)·v(x+Δx)−u(x)·v(x)±v(x+Δx)·v(x)= limΔx→0Δxu(x+Δx)[v(x+Δx)−v(x)]+      

+limΔx→0Δxv(x)[u(x+Δx)−u(x)]=uv/+vu/.

(vu)/=limΔx→0Δxv(x+Δx)u(x+Δx)−v(x)u(x)=limΔx→0Δx·v(x+Δx)·v(x)u(x+Δx)·v(x)−u(x)·v(x+Δx)±u(x)·v(x)=v2u/v−v/u.

Теорема доказана.

11.

 Производная показательно степенной функции

Рассмотрим показательно степенную функцию y = u(x)^v(x)

Теорема 11. Пусть функции u = u(x), v = v(x) дифференцируемы, тогда функция y = u(x)^v(x)дифференцируема и

Доказательство

Так как ln y = v(x) ln u(x), то, продифференцировав это равенство, получаем

Теорема доказана.

12.

Если определена ( n -1) -я производная f ^(n -1 ) (x) и существует её произ­водная, то она называется n-й производной функции f(x):

f ^( n ) ( x ) = ( f ^( n -1 ) ( x ))' . (4.6)

Все производные, начиная со второй, называются производными высших порядков.

Функцию, имеющую на данном множестве конечную производную порядка n , называют n раз дифференцируемой на данном множестве.

Дифференциал функции y = f ( x ) выражается в виде dy = f'( x ) dx . Тогда, если он является некоторой функцией от х, то справедливо следующее:

О. Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом:

d ² y = f''( x ) dx ² . (4.7)

О. Дифференциал от дифференциала n -го порядка называется дифференциалом ( n +1)-го порядка.

13.

 Вычисление дифференциалов высших порядков

Понятие инвариантности формы дифференциала.

Рассмотрим дифференциал функции   в произвольной точке промежутка  :  . Здесь  - приращение независимой переменной, которое является числом и не зависит от  . Пусть теперь    - функция независимого переменного  , определенная на промежутке   . Тогда   - сложная функция переменного  . Вычислим ее дифференциал, используя формулу дляпроизводной сложной функции:  . Заметим, что  и выражение для дифференциала принимает ту же форму  , хотя здесь   уже функция переменного   . Это свойство дифференциала первого порядка называется инвариантностью (т.е. неизменностью) его формы. При вычислении дифференциала второго порядка придется учитывать, что   - функция переменного   . Поэтому  и форма второго (а также и всех следующих) дифференциала неинвариантна.