16.1.2. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

 1 тип.

  - заданные числа

 

2 тип.

- заданные числа

3 тип.

- заданные числа . Квадратный трехчлен не содержит действительных корней.

Интегрирование осуществляется посредством выделения полного квадрата в знаменателе: и дальнейшей заменой , иначе выражаясь

 

 

Первый инеграл посредством осуществления замены приводится к табличному (ОК № 15, формула 2), второй — табличный (формула 15).

34

35

Функция   называется рациональной функцией, или рациональной дробью, если она представляет собой отношение двух многочленов   и   :

Пусть степень многочлена   равна   , а степень   равна   , то есть

где   и   . Разделив числитель и знаменатель на число   , мы получим, что коэффициент при старшей степени   в знаменателе равен 1. Для дальнейшего нам будет удобно предполагать, что эта операция уже произведена, то есть что   . Далее мы будем предполагать, что все коэффициенты   и    -- вещественные числа.

Если   , то дробь   называется правильной, а если   , то неправильной. Если дробь неправильная, то её числитель   можно поделить на знаменатель   , получив при этом частное   и остаток   , степень которого   меньше   . Это означает, что

или что

где    -- некоторый многочлен, называемый целой частью рациональной дроби   . Если остаток   тождественно равен 0, то многочлен   делится на  без остатка, и функция   является многочленом, то есть совпадает со своей целой частью   .

С интегрированием целой части дроби   , то есть многочлена   , не возникает никаких проблем, так что в дальнейшем мы можем заняться выяснением способов интегрирования лишь правильных рациональных дробей.

Для нахождения частного   и остатка   можно применять алгоритм деления многочленов "столбиком". Приведём пример.

36

^ 1.5. Интегрирование биномиальных дифференциалов Биномиальными называются дифференциалы вида постоянные величины. рациональные числа, a,b где m,n,p Рассмотрим интеграл  . (1.5)  целое число. Данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции от t, если положить1) n   наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n. , 2)    целое число, тогда рационализации подынтегрального выражения можно достигнуть, используя замену знаменатель дроби р. , 3)    целое. Замена  знаменатель дроби р, позволяет рационализировать подынтегральную функцию в исходном интеграле. , Эти случаи интегрируемости были известны еще Ньютону. Однако, только в середине прошлого столетия П.Л.Чебышев установил факт, что других случаев интегрируемости в конечном виде для биномиальных дифференциалов нет. Поэтому подстановки 1-3 называют подстановками Чебышева.

37

Интегрирование иррациональных выражений

1. Интегрирование дробно–линейных иррациональностей

R     x, p√  ax + b cx + d ,  q√ ax + b cx + d ,  …   

(1)

где R — рациональная функция и p , q,  … — натуральные числа.

При вычислении интегралов от функций вида (1) с помощью подстановки

x   =    tnd − b a − ctn  ,         tn   =    ax + b cx + d  ,

где n — общий знаменатель дробей 1/p, 1/q,  … , приходим к интегралам от рациональных функций t .

38

ЭЙЛЕРА ПОДСТАНОВКА

- замена переменной х=x(t) в интеграле

  где   - рациональная функция своих аргументов, сводящая этот интеграл к интегралу от рациональной функции и имеющая один из следующих трех видов. Первая подстановка Эйлера: если а>0, то 

Вторая подстановка Эйлера: если корни х ₁ и x₂ квадратного трехчлена ах ²+bх+с действительные, то 

Третья подстановка Эйлера: если c>0, то    (в правых частях равенств можно брать любые комбинации знаков). При всех Э. п. как старая переменная интегрирования x, так и радикал   рационально выражаются через новую переменную t.  Две первые Э. п. позволяют всегда свести интеграл (1) к интегралу от рациональной функции на любом промежутке, на к-ром радикал   пррнимает только действительные значения.  Геометрич. смысл Э. п. состоит в том, что кривая 2-го порядка 

имеет рациональное параметрич. представление: именно, если за параметр tвзять угловые коэффициенты пучка секущих у-y₀=t(x-x₀), проходящих через точку (x₀,y₀) кривой (2), то координаты этой кривой будут рационально выражаться через переменную t. В случае, когда а>0 и, следовательно, кривая (2) является гиперболой, для того, чтобы получить 1-ю Э. п., за точку (x₀,y₀) следует взять одну из бесконечно удаленных точек, определяемых направлениями асимптот этой гиперболы; в случае, когда корни х ₁ и х₂ квадратичного трехчлена ах²+bх+с действительны, для того, чтобы получить 2-ю Э. п., надо взять за точку (x₀,y₀) одну из точек (x₁.0) или (х ₂, 0); а в случае, когда с>0, чтобы получить 3-ю Э. п.- одну из точек пересечения кривой (2) с осью ординат, т. е. одну из точек 

Л. Д. Кудрявцев. 

39

Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций. Функцию с переменными sin x и cos x, над которыми выполняются рациональные действия (сложения, вычитание, умножение и деление) принято обозначать R(sin x;cos x), где R - знак рациональной функции.

Вычисление неопределенных интегралов типа сводится к вычислению интегралов от paциoнaльнoй фyнкции подстановкой   , которая называетсяуниверсальной.

Действительно,

 ,

Поэтому

где R₁(t) - рациональная функция от t. Обычно этот способ весьма громоздкий, зато он всегда приводит к результату.

На практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств (и вида) подынтегральной фyнкции. В частнocти, удобны следующие правила:

1)  если  функция  R(sinx;cos x)   нечетна  относительно  sinx,  т.е. R(— sinx;cos x)=— R(sin x;cos x), то подстановка cosx=t рационализирует интеграл;

2)  если  функция  R(sinx;cos x)   нечетна  относительно  cosx,  т.е. R(sinx; - cosx)=—R(sinx;cosx), то делается подстановка sinx=t;

3)  если функция  R(sin x; cos x)   четна  относительно sinx   и  cosx R(— sin x; - cos x)=R(sin x; cos x), то интеграл рационализируется подстановкой tgx=t. Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид 

40

 Расмотрим теперь интегралы вида

где хотя бы одно из чисел   и    -- нечётное положительное. Такие интегралы вычисляются заменой   , если нечётна степень косинуса, или   , если нечётна степень синуса. Действительно, пусть    -- нечётное число. Запишем   как

а оставшуюся чётную степень косинуса,   , выразим через синус с помощью формулы

Получим интеграл

После раскрытия скобок этот интеграл легко вычисляется. Аналогично нужно поступать и в случае нечётной степени   , используя равенство   .

41