1.) Преобразование целевой функции при переходе от одного опорного решения к другому. Теорема об улучшении опорного решения, её следствия.

Пусть опорное решение задачи линейного программирования c базисом . Значение целевой функции задачи на этом решении равно . Перейдем к другому опорному решению:

с базисом . Значение целевой функции на этом решении . Формулы пересчёта правых частей уравнений: ; ; i = 1, 2, …, m; i  l. Получим:

, т.е. . Находим приращение целевой функции при переходе от одного опорного решения к другому .

- оценка разложения вектора условий по базису опорного решения и вычисляемая по формуле ,  вектор коэффициентов целевой функции при базисных переменных,  вектор коэффициентов разложения вектора по базису опорного решения,  коэффициент целевой функции при переменной . Т. Если в задаче линейного программирования на максимум (минимум) хотя бы для одного вектора условий оценка разложения по базису невырожденного опорного решения отрицательная (положительная), то опорное решение может быть улучшено, т.е. можно найти новое опорное решение, на котором значение целевой функции будет больше (меньше). Док-во. Пусть решается задача на максимум, которая имеет невырожденное опорное решение , , и . Перейдем к новому опорному решению , введём в базис вектор и исключим из базиса вектор . Приращение целевой функции . Так как > 0, , то

. Следовательно, значение целевой функции на новом опорном решении будет больше, чем на первом . Следствие 1. Для наибольшего изменения целевой функции при улучшении опорного решения необходимо выбор вектора выводимый из базиса (с номером l) и вводимого в базис (с номером k) производить из условий: 1. в задаче на максимум ; 2. в задаче на минимум . Следствие 2. Опорное решение задачи линейного программирования на максимум (минимум) является оптимальным, если для любого вектора условий оценка разложения по базису опорного решения неотрицательная (неположительная), т.е. в задаче на максимум ; в задаче на минимум . Следствие 3. Оптимальное решение задачи линейного программирования является единственным, если для любого вектора условий, не входящего в базис, оценка отлична от нуля, т.е. в задаче на максимум ; в задаче на минимум .

Следствие 4. Задача линейного программирования имеет бесконечное множество оптимальных решений, если она имеет оптимальное решение, при котором хотя бы один из векторов условий, не входящих в базис оптимального решения, имеет оценку равную нулю, т.е.  k  {m+1, m+2, ..., n}: .

Следствие 5. Задача линейного программирования не имеет решения ввиду неограниченности целевой функции, если для какого-либо из векторов условий с оценкой , противоречащей признаку оптимальности, среди коэффициентов разложения по базису опорного решения нет положительного, т.е. в задаче на максимум и ; в задаче на минимум и .

2.) Теорема о двух системах векторов, которым соответствуют равносильные системы уравнений. Алгоритм нахождения базиса. Т.Если двум системам векторов А₁,А₂, …, А_n и В₁,В₂,…,В_n соответствуют равносильные системы уравнений А₁х₁+А₂х₂+…+А_nx_n= Θ, B₁х₁+В₂х₂+…+В_nx_n= Θ, и векторы В₁,В₂,…,В_r образуют базис системы, то соответствующие векторы А₁, А₂,…,А_r образуют базис системы и при этом разложения соответствующих векторов систем по своим базисам совпадают, т.е. В_j=B₁ ƛ_1j+B₂ ƛ_2j+…+B_r ƛ_rj (j=r+1, 2,…, n), то A_j=A₁ ƛ_1j+A₂ ƛ_2j+…+A_r ƛ_rj (j=r+1, 2,…,n). Док-во. Пусть В₁,В₂,…,В_r (r≤n) базис системы векторов (2). Покажем, что А₁, А₂,…,А_r линейно зависимы, т.е. есть ненулевой набор ƛ₁, ƛ₂, …, ƛ_r,что А₁ ƛ₁₊А₂ ƛ_2+…+ A_r ƛ_r= Θ. А₁ ƛ₁₊А₂ ƛ_2+…+ A_r ƛ_r+ A_r+10+ A_r+20+…+ A_n0= Θ. B₁ ƛ₁+B₂ ƛ₂+…+B_r ƛ_r+B_r+10+B_r+20+…+B_n0= Θ или B₁ ƛ₁+B₂ ƛ₂+…+B_r ƛ_r= Θ при ненулевом наборе чисел ƛ₁, ƛ₂, …, ƛ_r, что возможно только при линейной зависимости векторов В₁,В₂,…,В_r. Это противоречит условию теоремы. Следовательно, А₁, А₂,…,А_r линейно независимые. В_j=B₁ ƛ_1j+B₂ ƛ_2j+…+B_r ƛ_rj (j=1, 2,…, n). Покажем, что с такими же коэффициентами ƛ_1j, ƛ_2j,…, ƛ_rj разлагается A_j по векторам А₁, А₂,…,А_{r .} B₁ ƛ₁+B₂ ƛ₂+…+B_r ƛ_r+B_r+10+B_r+20+…+B_j-10-B_j∙1+B_j+10+…+ B_n0= Θ A₁ ƛ₁+A₂ ƛ₂+…+A_r ƛ_r+A_r+10+A_r+20+…+A_j-10-A_j∙1+A_j+10+…+ A_n0= Θ, A_j= ƛ₁+A₂ ƛ₂+…+A_r ƛ_r (j=1, 2,…, n). Алгоритм нахождения базиса. 1) составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений А₁х₁+А₂х₂+…+А_nx_n= Θ; 2)привести эту систему к равносильной разрешенной системе вида E₁x₁+E₂x₂+…+E_rx_r+A’_r+1x_r+1+…+A’_jx_j+…+A’_nx_n= Θ; 3) записать базис системы векторов Б=(А₁, А₂,…,А_r); 4) записать разложения векторов по базису; коэффициентами разложения вектора A_j по этому базису являются координаты соответствующего вектора A’_j= (a’_1j, a’_2j,…,a’_rj) в разрешенной системе уравнений, т.е. A’_j=А₁ a’_1j, А₂ a’_2j,…, А_r a’_rj (j=1, 2, …, n). Система векторов, состоящая из n векторов, ранг которой равен r, может иметь несколько базисов. Число возможных базисов системы векторов определяется как число сочетаний из n по r по формуле

Билет №9

1.) Метод искусственного базиса решения задач линейного программирования, его обоснование. Леммы и теорема об оптимальности опорного решения. Метод искусственного базиса применяется в том случае если, задача не имеет начального опорного решения с базисом из единичных векторов. 1.Составляем расширенную задачу. (добавляем искусственные переменные – не отрицательные переменные которые вводятся в левую часть одного из уравнений системы ограничений с коэф. +1 и в целевую функцию на макс. -М в задаче на минимум +М). 2.Либо находим оптимальное решение, либо устанавливаем его отсутствие.

Особенности: 1.Оценки разложений векторов условий ∆j = С_б * X_j – c_j состоят из двух слагаемых. Одно из которых не зависит от М. На первом этапе расчета, используем только слагаемые оценок ∆_J(M). 2.Векторы соответствующие иск. Переменным, которые выводятся из базиса, исключаем из рассмотрения. 3.Далее продолжаем симплексным методом с использованием оценок независящих от М. Лемма. Любому допустимому решению исходной задачи соответствует допустимое решение расширенной задачи и, наоборот, любому допустимому решению расширенной задачи соответствует допустимое решение исходной задачи . При этом значения целевых функций задач на соответствующих решениях совпадают, т. е. . Док-во. Пусть  допустимое решение. Тогда оно удовлетворяет: Дополним данное решение , имеем . Подставим в систему ограничений расширенной задачи: Данное равенство выполняется, так как оно не отличается от тождества. является допустимым решением. Покажем, что значения целевых функций задач на соответствующих допустимых решениях совпадают.

Отсюда .

Лемма. Значение целевой функции расширенной задачи на максимум (минимум) на любом допустимом решении , у которого все искусственные переменные равны нулю, больше (меньше) значения целевой функции на любом допустимом решении , у которого хотя бы одна искусственная переменная отлична от нуля. Док-во. Подставим и в целевую функцию расширенной задачи

, . удовлетворяет условию неотрицательности и по условию леммы , то и .

Т. Если расширенная задача линейного программирования имеет оптимальное решение

, у которого все искусственные переменные равны нулю, то исходная задача имеет оптимальное решение , которое получается из отбрасыванием этих нулевых искусственных переменных. До-во. Пусть . Допустимому решению соответствует допустимое решение исходной задачи , что . Покажем, что  оптимальное решение исходной задачи, т.е. .

Пусть оптимальным решением исходной задачи является , т.е. , в частности . Существует допустимое решение расширенной задачи такое, что . Тогда , что противоречит оптимальности .

2.) .Фундаментальная система решений однородной системы уравнений, теорема об её существовании. Векторная форма записи общего решения неоднородной системы уравнений.Фундаментальной системой решений однородной системы уравнений называется линейно независимая система векторов-решений системы F₁, F₂, … F_k, по которой разлагается любое решение системы, т.е. любое решение системы уравнений равно X=F₁t₁+F₂t₂+…+F_kt_k, где t₁, t₂, … t_k – вещественные числа. Т. Если ранг матрицы системы однородных уравненийr меньше числа неизвестных n, то система уравнений имеет фундаментальную систему решений, состоящую из nr векторов-решений. Док: Пусть система записана в виде . Если ранг матрицы системы равен r(r(A)=r), то равносильная разрешенная система уравнений содержит r уравнений и имеет вид . Т. к.n>r, то система имеет n –rсвободных неизвестных . Задав свободным неизвестным значения 0 и 1, можно найти n –rчастных решений вида , , …, . В этих векторах вместо значений базисных переменных поставлены точки, так как они в данном рассмотрении не имеют значения. Покажем, что образуют фундаментальную систему решений. Чтобы доказать, что данные векторы являются линейно независимыми, составим линейную комбинацию .Данная линейная комбинация равна нулевому вектору только при . Это и подтверждает линейную независимость векторов. Покажем, что любое решение системы уравнений является линейной комбинацией . Составим вектор К, являющийся линейной комбинацией векторов с коэффициентами .Решения L и K при одних и тех же разрешенных неизвестных имеют одинаковые свободные неизвестные, следовательно, они совпадают (L= K), т. е. .

Векторная форма записи общего решения неоднородной сис-мы ур-ний. Т. Общее решение неоднородной системы уравнений АХ=В равняется сумме частного решения этой системы К и линейной комбинации решений фундаментальной системы решений соответствующей однородной системы АХ=0, т.е. Х=К+ F₁t₁+F₂t₂+…+F_kt_k, где К - какое-либо решение неоднородной системы уравнений АХ=В, F₁, F₂, … F_k – фундаментальная система решений однородной системы уравнений, t₁, t₂, … t_k– произвольно заданные числа. Док-во: 1. Подставим X=К+F₁t₁+F₂t₂+…+F_kt_k в уравнение АХ=В, получим AX=A(К+F₁t₁+F₂t₂+…+F_kt_k)=AK+AF₁t₁+AF₂t₂+…+AF_kt_k=B+©t₂+…+©t_k=B, так как векторы F₁, F₂, … F_k являются решениями однородной системы АХ=©. Значит, Х является решением системы АХ=В. 2.Покажем, что любое решение уравнения АХ=В имеет вид L= К+ F₁t₁+F₂t₂+…+F_kt_k. Пусть К – некоторое частное решение уравнения АХ=В, L – любое другое ршение этого уравнения. Разность эти решений (L-K) является решением одного уравнения AX=©. Действительно, A(L-K)=AL-AK=B-B=0. Поэтому L-K является линейной комбинацией векторов-решений фундаментальной системы однородной системы уравнений, т.е. L-K= F₁t₁+F₂t₂+…+F_kt_k.

Билет №10

1.) Обоснование метод искусственного базиса решения задач линейного программирования. Теорема об отсутствии оптимального решения ввиду неограниченности целевой функции. Метод искусственного базиса применяется в том случае если, задача не имеет начального опорного решения с базисом из единичных векторов. 1.Составляем расширенную задачу. ( добавляем искусственные переменные – не отрицательные переменные которые вводятся в левую часть одного из уравнений системы ограничений с коэф. +1 и в целевую функцию на макс. -М в задаче на минимум +М). 2.Либо находим оптимальное решение, либо устанавливаем его отсутствие. Особенности1.Оценки разложений векторов условий ∆j = С_б * X_j – c_j состоят из двух слагаемых. Одно из которых не зависит от М. На первом этапе расчета, используем только слагаемые оценок ∆_J(M). 2.Векторы соответствующие иск. Переменным, которые выводятся из базиса, исключаем из рассмотрения. 3.Далее продолжаем симплексным методом с использованием оценок независящих от М. Т. Если расширенная задача имеет оптимальное решение, у которого хотя бы одна искусственная переменная отлична от нуля, то исходная задача не имеет решения ввиду несовместности системы ограничений. Док-во. Пусть ; причем хотя бы одна из искусственных переменных больше нуля. Покажем, что система ограничений исходной задачи в этом случае несовместна. Пусть есть некоторое допустимое решение , которому соответствует допустимое решение расширенной задачи и . , что противоречит оптимальности . Т. Если расширенная задача не имеет решения ввиду неограниченности целевой функции, то и исходная задача также не имеет решения по той же причине. Док-во. Пусть +. Пусть есть оптимальное решение , которому соответствует допустимое решение расширенной задачи и . Так как +, то есть допустимое решение , что . 1) то соответствует допустимое решение исходной задачи и , , что противоречит предположению об оптимальности решения . 2) существует , тогда , что противоречит неограниченности целевой функции ( +) расширенной задачи .

2.) . Квадратичная форма: ее стандартный вид, изменение при невырожденном линейном преобразовании, канонический вид. Знакоопределенность квадратичных форм. Критерий Сильвестра. Квадратичной формой n переменных x₁,x₂,…,x_n называется функция F(x₁,x₂,…,x_n), представляющая собой сумму, каждое слагаемое которой имеет вторую степень относительно этих переменных. Обычно используют квадратичные формы следующего вида(cтандартная форма):

Матрица данного вида называется матрицей квадратичной формы.

.Матрица является симметрической, т.к. a_ij=a_ji i,j=1,2,…,n. Квадратичная форма в векторно-матричном виде: F(x)=X^TAX, где . Преобразование квадратичной формы при невырожденном линейном преобразовании координат. X=CY, , , . Здесь x₁ , x₂ , …, x_n – старые переменные, y₁ , y₂ , …, y_n -новые переменные, С – матрица преобразования координат. Преобразование координат называется невырожденным, если матрица преобразования С невырожденная. Квадратичная форма F(x)=X^TAX в новой системе координат примет вид F(Y)= (CY)^TA(CY)=Y^TC^TACY=Y^TA*Y, где A*=C^TAC- матрица квадратичной формы в новой системе координат. Канонический вид квадратичной формы. Квадратичная форма называется канонической, если все ее коэффициенты a_ij при i ≠ j равны нулю, т.е. она имеет вид:

Матрица такой квадратичной формы является диагональной _. Т. Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования. Знакоопределенность квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно. Т. Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами канонической квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду. РАНГОМ квадратичной формы называется отличных от нуля коэффициентов в ее каноническом виде. Ранг квадратичной формы совпадает с рангом матрицы квадратичной формы. Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если она принимает положительные(отрицательные) значения в любой точке n-мерного пространства , кроме начала координат, т.е. . Т. Для того чтобы квадратичная форма F(Х)=X^TAX была положительно(отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы А были положительные(отрицательные). Критерий Сильвестра. Т. Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительны, т.е. , где (k=1,2,…,n)

Т. Если квадратичная форма удовлетворяет критерию Сильвестра, то она может быть приведена к каноническому виду

Билет № 11

1.) Пример составления двойственной задачи. Правило составления двойственной задачи. Симметричные и несимметричные пары двойственных задач. Имеется m-видов сырья b₁,……b_n, к-ые используются для производства n-видов продукции.Введём переменную a_ij-расход i-го сырья на изготовление единицы j-й продукции.С_j–прибыль от реализации единицы i-го вида продукции, X_j–объём выпуска j-й продукцииZ(x)=c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n →max. Система: a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n≤b₁, a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n≤b₂, a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n≤b_mиx_j≥0.

Предположим, что имеется 2-й производитель(2-я фирма) тоже производит какую-то продукцию и ей требуется то же сырьё, что и для 1-й. Рассматриваем задачу условий продажи сырья 1-й фирмы 2-й. Y=(y₁,y₂,…y_m)-вектор цен единицы i-го вида сырья. F(Y)=b₁y₁ +b₂y₂+….+b_my_m →min. Система: a₁₁y₁+a₂₁y₂+…+a_m1y_m≥c₁, a₁₂y₁+a₂₂y₂+…+a_m2y_m≥c₂, a_1ny₁+a_2ny₂+…+a_mny_m≥c_n, y_i≥0. Построили двойственную или сопряжённую исходной задачу.Правила составления двойственной задачи: 1)Во всех ограничениях основной задачи неизвестные стоят слева,а свободные переменные справа; 2)В ограничениях-неравенствах знаки должны быть направлены в одну сторонуМак--≤ , мин-- ≥; 4)Каждому ограничению исходной задачи соответствует переменная двойственной задачи,при этом ограничению нер-ву соответствует у>=0, а уравнению – не налагается усл неотрицат; 4) матрица системы ограничений двойтв.задачи-транспонированная матр системы огранич исходной; 5) коэффициенты целевой ф-ции дв задачи-правые части системы ограничений исходной, а правыми частями системы ограничений будут коэффициенты цел ф-ции исходной.

2.) .N-мерные векторы и действия над ними. Множество чисел u1, u2,…,un, пронумерованное с помощью натуральных чисел и расставленных в порядке возрастания их номеров, называется числовой последовательностью.N-мерным вектором называется последовательность n чисел. Эти числа называют координатами вектора. Число координат вектора n называется размерностью вектора. Запись вектора: в виде строки или стоблца. . Единичные векторы спец. вида - нулевой вектор -

Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением векторов   и   называется величина, вычисляемая по формуле:

Модуль(длина вектора) Если модуль вектора равен 1 то он называется единичным и обозначается через .

Угол между векторами

Матрицы. Линейные операции над матрицами. Матрицей размерности m на n называется таблица чисел(элементов), содержащих m строк и n столбцов.

или А(aij)(i=1,2,…,m;j=1,2,..., n). Если в матрице А переставить соответствующие строки и столбцы местами, то получится матрица А^T, которую называют транспонированной матрицей. Если число m и n совпадают, то матрицу называют квадратной n-порядка. 1)Матрицы  A = || a_i j ||  и  B = || a_i j ||  считаются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие матричные элементы попарно равны: для любых допустимых значений индексов  i  и  j.  2) Любую матрицу можно умножить на любое число, при этом все элементы матрицы умножаются на это число 3) Операция сложения определена только для матриц одинаковых размеров. Результатом сложения матриц  A = || a_i j ||  и  B = || b_i j ||  является матрица  C = || c_i j || , элементы которой равны сумме соответствующих матричных элементов: Умножение матриц. Произведением двух матриц А = (a_{i j}) и B = (b_{j k}), где i = , j= , k= , заданных в определенном порядке АВ, называется матрица С = (c _{i k}), элементы которой определяются по следующему правилу: c _ik = a_{i 1} b_{1 k} + a_{i 2} b_{2 k} +... + a_im b_mk =  a_is b_sk.   Свойстваумноженияматриц: 1)(AB)C=A(BC); 2) (A+B)C= AC+AB; 3) A(B+C)= AB+ AC; 4) AE=EA=A; 5)(AB)^T= (B^T)(A^T).

Билет №12

1.) Первая теорема двойственности, её доказательство.Т. Если одна из пары двойственных задач имеет оптимальное решение, то и двойственная к ней имеет оптимальное решение; причем значения целевых функций задач на своих оптимальных решениях совпадают. Если же одна из пары двойственных задач не имеет решения ввиду неограниченности целевой функции, то другая не имеет решения ввиду несовместности системы ограничений.Док-во. Есть несимметричная пара двойственных задач. Первая:Z(X) = CX max, AX= , . Вторая: , Оптимальное решение первой задачи: с базисом . Запишем последнюю симплексную таблицу. Запишем разложение вектора _: , k= 0, 1, 2, . . . , n. Пусть , k= 0, 1, 2, ..., n. D , = . Аналогично: . Напишем оценки , которые находятся по формуле: . - матрица-строка коэффициентов при базисных переменных. Тогда . Пусть ; и _, . Значит, , . 1. Допустимое решение двойственной задачи: .Решение прямой задачи на мак: , удовлетворяет системе ограничений двойственной задачи. 2. Докажем и _{. ,} . 3. Докажем , область допустимых решений прямой задачи,  область допустимых решений двойственной задачи. т.е. 4. Докажем, что является оптимальным решением.  оптимальное решение, то . Двойственная задача на мин, то должно выполняться . , не может быть меньше , а может быть только равно . Это равенство достигается при ,которое - оптимальным решением двойственной задачи.

Докажем второе утверждение. Пусть прямая задача не имеет оптимального решения, так как Z(X)  +. Так как и , то - пустое множество.

2.) Понятие о линейном алгебраическом уравнении, его решении. В общем случае линейное ур-ние имеет вид: . Любой n-мерный вектор Х = (x ₁, x ₂, ..., x _n ), называется решением уравнения, если при подстановке его координат уравнение обращается в тождество. 2 линейных ур-ния называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Решение линейного ур-ния: 1) a1=a2=…=an=b=0, тогда ур-ние 0x ₁+ 0x ₂+ ...+0x _n =0-тривиальное ур-ние, имеет бесконечное мн-во реш; 2) a1=a2=…=an, b не равен 0, тогда 0x ₁+ 0x ₂+ ...+0x _n =b-противоречивое ур-ние, не имеет ни 1 решения; 3) хотя бы один из коэфф.при неизвестных отличен от 0.пусть а не равно0, тогда можно разрешить ур-ние относительно х1;  , х1-разрешенная неизвестная, х2,х3…- свободные неизвестные. Системы линейных ур-ний, их классификация по количеству решений. В общем случае система лин. ур-ний, имеет вид

, где a (i=1,2…,m;j=1,2,…,n) и (i=1,2,…m)-постоян. велич. Решением системы ур-ний называется такой n-мерный вектор Х = (x ₁, x ₂, ..., x _n ), который является решением каждого из уравнений системы. 1) 2 системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. 2) Система ур-ний называется совместной, если она имеет хотя бы 1 решение. 3) Система ур-ний называется несовместной, если она не имеет ни 1 решения. 4)Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение. 5) Совсестная система называется неопределенной, если она имеет бесконечное мн-во решений. Векторная и матричная формы записи систем линейных уравнений. Система ур-ний может быть записана в векторном виде: , где

, j=1,2,…,n; B= В матричной записи система линейных ур-ний может быть записана: AX=B, где A= , X= , B= .

Билет №13

1.) Вторая теорема двойственности, её доказательство.Т. Для того, чтобы допустимые решения , являлись оптимальными решениями пары двойственных задач, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие равенства ; . Док-во. Необходимость. и  оптимальные решения пары двойственных задач. 1. ; . .Отсюда следует .X, Y оптимальные решения, то Z(X) = F(Y). . .Учитывая, что и , а , из этого каждое слагаемое суммы равно нулю, т.е. .2. Аналогично: . Так как и , .Достаточность. и являются оптимальными решениями. ;

. Получаем, что Z(X) = F(Y). Из первой теоремы двойственности следует, что значения целевых функций пары двойственных задач равны только на оптимальных решениях. Поэтому можно утверждать, что X и Y являются оптимальными решениями.

2.) Разрешенная система уравнений. Общее, частное и базисное решение. Неизвестная называется разрешенной для системы ур-ний, если она входит в 1 из ур-ний системы с коэфф.+1, а в остальные уравнения не входит (т.е. входит с коэфф.=0). Система ур-ний называется разрешенной, если каждое ур-ние системы содержит разрешенную неизвестную, среди которых нет совпадающих. Разрешенные неизв., взятые по одному из каждого ур-ния, образуют полный набор разреш.неизвестных. Разрешенные неизв, входящие в набор-базисные, а не входящие-свободные. Общим решением разрешенной системы называется совокупность выражений разрешенных неизвестных через свободные члены и свободные неизвестные. Частным решением системы ур-ний называется решение, получающееся из общего при конкретных значениях свободных неизвестных. Базисным решение системы ур-ний наз. частное решение, получающееся из общего при нулевых знач. Базисное реш.-вырожденное, если число координат,отличных от нуля < числа разреш.неизвестных. Базисное реш.-невырожденное, если координат,отличных от нуля =числу разреш.неизвестных. Т. Разрешенная система всегда совместна, причем если система не имеет свободных неизвестных, то она определена, если же имеется хотя бы одна своб.неизв, то система не определена. Для любой системы ур-ний общим решением называется общее реш. разрешенной сист.,равносильной этой. Если разрешенная система ур-ний, равносильная исходной системе, содержит n неизвестных и m ур-ний (m<n), то число общих и соотв.базисных реш.равно:

Эквивалентные преобразования систем линейных ур-ний . Системы линейных ур-ний приводятся к равносильным разрешенным системам с помощью элементарных преобразований. Т. Если какое либо ур-ние системы умножить на нек., отличное то 0 число, а остальные оставить без изменения, то получится система , равносильная данной. Док-во: Пусть 2 системы отличаются только одним ур-нием с номером i, причем это ур-ние 2 системы получено из соотв. ур-ния 1 системы умножением на λ, не равное 0

, , если )- решение одной из систем, то все совпадающие ур-ния систем удовлетворяются этим решением , а i-е ур-ния обращаются в тождество одновременно. Т. Если к какому то ур-нию системы прибавить другое, а все остальные ур-ния оставить без изменения, то получится система, равносильная данной.Док-во: Пусть исходная система имеет вид:

(1) (2)

Ур-ние с номером l прибавим к ур-нию с i .Получим (2) -решение исходной системы, то (1) и (2)- тождества, т.е. явл. Решением системы, полученной при сложении ур-ний с i и l. Следствие. Если к какому-либо ур-нию прибавить другое, умноженное на некоторое число, а все остальные оставить без изменения, то получится система, равносильная данной

Билет №14

1.)

2.) Преобразование Жордана систем линейных ур-ний. Вывод формул пересчета коэффициентов системы уравнений.Преобразование Жордана состоит из элементарных преобразований:1) уравнение с разрешающим элементом делится на этот элемент(умножается на 1/ ); 2) ур-ние с разреш. элементом умножается на подходящие множители и прибавляется ко всем другим ур-ниям для того, чтобы исключить неизвестную из этих уравнений. Запишем 2 ур-ния: ур-ние с номером l, содержащие разрешающий элемент и другое, с номером i

, * . При делении ур-ние с номером l на , его коэфф. пересчитываются по формулам: (j=1,2,…,n), . Чтобы исключить из ур-ния с i, нужно ур-ние с номером l умножать на и прибавить к этому ур-нию.При этом, коэфф. ур-ния с номером i пересчитываются по формулам

(i=1,2,...,m, i≠l; j=1,2,…,n);

(i=1,2,…, m; i≠l)

Билет №15

1.) Необходимые и достаточные условия разрешимости транспортной задачи. Свойство системы ограничений транспортной задачи. Взаимосвязь линейной зависимости векторов-условий и циклов.Т. Для того, чтобы транспортная задача линейного программирования имела решение, необходимо и достаточно, чтобы суммарные запасы поставщиков равнялись суммарным запросам потребителей, т. е. задача должна быть с правильным балансом. ,

Док-во. Необходимость. , , i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n. Допустимое решение. Докажем . , i = 1, 2, ..., m, , j = 1, 2, ..., n . и .

Отсюда следует, что задача имеет правильный баланс.Достаточность. Пусть задача имеет правильный баланс . Докажем, что в этом случае задача имеет оптимальное решение. , i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, .., n - допустимое решение. , i = 1, 2, ..., m, , j = 1, 2, ..., n, удовлетворяет и условиям неотрицательности.

.

Свойство системы ограничений транспортной задачи. Взаимосвязь линейной зависимости векторов-условий и циклов.Т. Ранг системы векторов-условий транспортной задачи равен .Док-во.Для нахождения базиса системы векторов необходимо составить однородную систему уравнений .Ранг системы векторов равен числу векторов, входящих в базис, т. е. числу разрешённых неизвестных этой системы.Системе векторов условий транспортной задачи , i=1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., nсоответствует однородная система уравнений . Записываем матрицу этой системы. Если к последней строке прибавить (n–1) строку, начиная с (m+ 1)-й, и вычесть первые m строк, то получится строка, состоящая из нулей. Это значит, число разрешенных неизвестных и r не может быть равен числу m+ n.Покажем, что найдутся N = m+ n 1 линейно независимых векторов условий. Выбираем и убедимся, что они линейно независимые. Система уравнений составляется: .C помощью элементарных преобразований можно привести ее к единичной. Следовательно, эта система уравнений имеет единственное нулевое решение , а система векторов линейно независима.Т.Для того чтобы система векторов-условий транспортной задачи была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы из соответствующих им клеток таблицы можно было выделить часть, которая образует цикл.Док-во. Необходимость. линейно зависима. Тогда существует такой ненулевой набор чисел , что . . Вектор имеет две равные единице координаты с номерами и , остальные =0. В равенство входит вектор , у которого одна из этих координат =1 и который должен умножаться на коэффициент . Но он имеет координату с номером =ую 1. Следовательно, в равенство должен также входить вектор с такой же единичной координатой и т.д. В выбранной таким образом последовательности векторов должен найтись вектор , у которого второй индекс совпадает со вторым индексом первого вектора. Данной последовательности векторов соответствует совокупность клеток таблицы транспортной задачи, которая образует цикл.Достаточность. Пусть из соответствующих векторам клеток (i, j) выбрана последовательность клеток, образующих цикл ( ), ( ), ( ), …, ( ). Нетрудно видеть, что . Отсюда следует линейная зависимость рассматриваемой системы векторов.

2.) Метод Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений.Для того, чтобы составить алгоритм решения систем уравнений методом Ж.Г., необходимо использовать:Т.(О сокращении числа уравнений системы.) Если система уравнений содержит тривиальное ур-ние, то его можно исключить из системы, при этом получится система, равносильная исходной.Т. (О несовместности системы уравнений.) Если система ур-ний содержит противоречивое ур-ние, то она несовместна.Алгоритм метода Жордана-Гаусса:1) Проверяется, является ли система несовместной. Если система содержит противоречивое уравнение, то она несовместна; 2) Проверяется возможность сокращения числа ур-ний. Если система содержит тривиальное ур-ние, то его вычеркивают; 3) если система ур-ний является разрешенной, то записывают общее решение, если необходимо-частные; 4) Если система не является разрешенной, то в ур-нии, не содержащем разрешенной неизвестной, выбирают разрешающий элемент и производят преобразование Жордана с этим элементом.Далее переходят к пункту1. Теорема о разрешении однородной системы ур-ний. (Система ур-ний называется однородной, если правые части(свободные члены) всех ур-ний равны нулю). Если число неизвестных однородной системы n больше числа ур-ний m, то система имеет хотя бы одно ненулевое решение.Решение называется нулевым, если все его координаты равны нулю. Док-во. Т.к. правые части системы равны нулю, то она имеет нулевое решение Х=(0,0,…,0), т.е. она совместна. Если эту систему привести к равносильной разрешенной, то она будет иметь хотя бы одну свободную переменную , т.к. число ур-ний m меньше числа неизвестных n. Свободными неизвестным можно придать ненулевые значения и получить частное ненулевое решение.

Билет№ 16

1.) Метод северо-западного угла. Существует ряд методов построения начального опорного решения, наиболее простой - метод северо-западного угла, в котором запасы очередного по номеру поставщика используются для обеспечения запросов очередных по номеру потребителей до тех пор, пока не будут исчерпаны полностью, после чего используются запасы следующего по номеру поставщика. Заполнение таблицы транспортной задачи начинается с левого верхнего угла. Метод состоит из ряда однотипных шагов, которые определяются: 1) если a_i< b _j то х _ij = а_i, и исключается поставщик с номером i, т.е. принимается x_ik = 0, k = 1, 2, ..., n , k ≠j,  а запросы j-го потребителя уменьшаются на a_i , т.е.  b_j’=b_j - a_i  2) если a_i> b _j то х _ij = b_j, и исключается потребитель с номером j, x_kj= 0, k= 1,2, ..., m, k≠i, а запасы i-го поставщика уменьшаются a_i‘= a_i - b_j,  3) если a _i = b_j то х_ij= a_i=  b_j,  исключается либо поставщик с номером i, x_ik= 0, k= 1,2, ..., n, k≠j, ,  b_j’=0 , либо j-й потребитель, x_kj= 0, k= 1,2, ..., m, k≠i, a_i‘= 0. 

Нулевые перевозки принято заносить в таблицу только тогда, когда они попадают в клетку (i, j), подлежащую заполнению. Во избежание ошибок после построения начального опорного решения необходимо проверить, что число занятых клеток равно k+ n- 1 и векторы-условия, соответствующие этим клеткам линейно независимы. Метод минимальной стоимости. Метод минимальной стоимости позволяет построить опорное решение, достаточно близкое к оптимальному, так как использует матрицу стоимостей транспортной задачи C={c_ij}, i=1,2, ..., m, j=1,2, ..., n. Состоит из ряда однотипных шагов, на каждом из которых заполняется только одна клетка таблицы, соответствующая минимальной стоимости min {с _ij}}, и исключается из рассмотрения только одна строка (поставщик) или один столбец (потребитель). Очередную клетку, соответствующую min {с _ij}, заполняют по тем же правилам, что и в методе северо-западного угла. Метод вычеркивания. Позволяет проверить, является ли данное решение транспортной задачи опорным.Пусть допустимое решение транспортной задачи, которое имеет m+n-1 отличных от нуля координат, записано в таблицу. Чтобы данное решение было опорным, векторы-условий, соответствующие положительным координатам, а также базисным нулям, должны быть линейно независимыми. Для этого клетки должны быть расположены так, чтобы нельзя было из них образовать цикл.Следовательно, чтобы вычеркнуть сначало либо все строки таблицы, содержащие по одной занятой клетке, либо все столбцы, содержащие по одной занятой клетке, далее вернуться к столбцам (строкам) и продолжать вычеркивание. Переход от одного опорного решения к другому. В транспортной задаче переход от одного опорного решения к другому осуществляется с помощью цикла. Для некоторой свободной клетки таблицы строится цикл, содержащий часть клеток, занятых опорным решением. По этому циклу перераспределяются объемы перевозок. Перевозка загружается в выбранную свободную клетку и освобождается одна из занятых клеток, получается новое опорное решение. Т. Если таблица транспортной задачи содержит опорное решение, то для любой свободной клетки таблицы существует единственный цикл, содержащий эту клетку и часть клеток, занятых опорным решением. Означенный цикл.  Цикл называется означенным, если его угловые клетки пронумерованы по порядку и нечетным клеткам приписан знак «+», а четным — знак «-». Сдвигом по циклу на величину θ называется увеличение объемов перевозок во всех нечетных клетках цикла, отмеченных знаком «+», на θ и уменьшение объемов перевозок во всех четных клетках, отмеченных знаком «-», на θ. Т. Если таблица транспортной задачи содержит опорное решение, то при сдвиге по любому циклу, содержащему одну свободную клетку, на величину  получится опорное решение. 

Т. Если таблица транспортной задачи содержит опорное решение, то для любой свободной клетки таблицы существует единственный цикл, содержащий эту клетку и часть клеток, занятых опорным решением. 

2.) Определение линейно зависимой и линейно независимой систем векторов, их свойства. Линейная зависимость векторов. Выражение вида ƛ₁А₁₊ƛ₂А_2+…+ƛ_nA_{n –} линейная комбинация векторов А₁,А₂,…,А_n c коэффициентами ƛ₁, ƛ₂,…, ƛ_n. В= ƛ₁А₁₊ƛ₂А_2+…+ƛ_nA_n . Система векторов А₁,А₂,…,А_n называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел ƛ₁, ƛ₂,…, ƛ_n, при котором линейная комбинация векторов ƛ₁А₁₊ƛ₂А_2+…+ ƛ_nA_n равняется нулевому вектору Θ, т.е. система уравнений А₁х₁+А₂х₂+…+А_nx_n= Θ имеет ненулевое решение. Система векторов А₁,А₂,…,А_n называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторов ƛ₁А₁₊ƛ₂А_2+…+ƛ_nA_n равна нулевому вектору только при нулевом наборе чисел ƛ₁, ƛ₂,…, ƛ_n, т.е. система уравнений А₁х₁+А₂х₂+…+А_nx_n= Θ имеет единственное нулевое решение. Св-во 1. Если система векторов линейно зависимая, то хотя бы один из векторов разлагается по остальным и, наоборот, если хотя бы один из векторов системы разлагается по остальным, то система векторов линейно зависимая. Док-во. Если система векторов А₁,А₂,…,А_n линейно зависимая, то существует ненулевой набор ƛ₁, ƛ₂,…, ƛ_n, при котором линейная комбинация этих векторов равняется нулевому вектору, т.е. ƛ₁, ƛ₂,…, ƛ_n = Θ. Пусть ƛ_{1 ≠}0, тогда . А₁ разлагается по остальным векторам. 2. ƛ₁А₁₊ƛ₂А_2+…+ƛ_nA_{n ,} -1∙А₁+ ƛ₂А_2+…+ƛ_nA_n= Θ. А₁х₁+А₂х₂+…+А_nx_n= Θ имеет ненулевое решение (-1, ƛ₁, ƛ₂,…, ƛ_n.). Система векторов – линейно зависимая. Св-во 2. Если какая – либо подсистема векторов линейно зависимая, то и вся система линейно зависимая. Док-во. А₁,А₂,…,А_r линейно зависимая подсистема А₁,А₂,…,А_n (r<n). Тогда есть ƛ₁, ƛ₂,…, ƛ_n, такой, что ƛ₁А₁₊ƛ₂А₂+ …+ƛ_rA_r= Θ. ƛ₁, ƛ₂,…, ƛ_r,0,...,0 ненулевой набор, при котором ƛ₁А₁₊ƛ₂А₂+ …+ƛ_rA_r+0А_r+1+…+0A_n = Θ, т.е. система А₁,А₂,…,А_n линейно зависимая. Св-во 3. Если система векторов линейно независимая, то любая ее подсистема линейно независимая. Док-во. Если подсистема векторов линейно зависимая, тогда по предыдущему свойству вся система векторов линейно зависимая, что противоречит условию. Св-во 4. Любая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависимая. Док-во. ƛ₁А₁₊ƛ₂А₂+ …+ƛ_rA_n+А_n+1 Θ для любых векторов А₁,А₂,…,А_n и нулевого вектора Θ равняется нулевому вектору при ненулевом наборе ƛ (0,0,…,0,1), так как 0∙А₁+0∙А₂+…+0∙А_n+ ƛ_n+1 Θ= Θ. Св-во 5. Система m-мерных векторов всегда является линейно зависимой, если число векторов n больше их размерности (n>m). Док-во. Составим однородную систему уравнений А₁х₁+А₂х₂+…+А_nx_n= Θ. При n>m существует ненулевой набор чисел х₁,х₂,…,х_n, при котором линейная комбинация векторов равна нулевому вектору.

Билет №17

1.) Признак оптимальности опорного решения в методе потенциалов. Этот метод позволяет упростить наиболее трудоемкую часть вычислений – нахождение оценок свободных клеток. Т. Если допустимое решение Х=( ), i=1,2,,…,m, j=1,2,…,n транспортной задачи является оптимальным, то существует потенциалы (числа) поставщиков , i=1,2,,…,m и потребителей , j=1,2,…,n, удовлетворяющие следующим условиям: + = при >0, + при =0. Признак оптимальности: опорное решение является оптимальным, если для всех векторов-условий (клеток таблицы) оценки неположительные. 

2.) Базис системы векторов. Единственность разложения вектора по базису. Теорема об единичном базисе. Базисом системы векторов А₁,А_2,…,А_n называется такая ее подсистема В₁,В₂,…,В_n, которая линейно независимая и по которой разлагается любой вектор системы. Здесь r-число векторов, входящих в базис (r≤n). Т. об единственности разложения векторов по базису. Любой вектор системы разлагается по базису этой системы единственным образом. Док-во. Пусть есть разложения вектора А_j системы А₁,А₂, …, А_n по базису В₁,В₂,…,В_r. . Так как В₁, В₂,…, В_n, образующие базис, линейно независимые, то последнее равенство возможно только при нулевом наборе множителей при векторах, т.е. только при ƛ_1j=ƛ’_1j, ƛ_2j=ƛ’_2j,…, ƛ_rj=ƛ’_rj. Т. об единичном базисе системы векторов. Если система m - мерных векторов содержит m различных единичных векторов Е₁,Е₂,…,Е_m , то они образуют базис этой системы. Единичным вектором называется вектор, модуль которого равен единице. Док- во. Пусть система имеет вид А₁,А_2,…,А_n, Е₁,Е₂,…,Е_m. 1. Е₁,Е₂,…,Е_m – линейно независимые, так как система Е₁х₁+Е₂х₂+…+E_mx_m= Θ имеет единственное нулевое решение.

2. Покажем, что любой m – мерный вектор А_j разлагается по этой системе единичных векторов.

Следовательно, координаты любого m – мерного вектора А_j являются коэффициентами разложения его по базису из единичных векторов Е₁,Е₂,…,Е_m.

Билет №18

1.) Особенности решения транспортной задачи с неправильным балансом. 1. Пусть суммарные запасы поставщиков превосходят суммарные запросы потребителей, т.е. . В этом случае при составлении оптимального плана перевозок часть запасов поставщиков, равная = , останется не вывезенной. Поэтому первую группу уравнений следует заменить неравенствами , i=1,2,…,m, а вторая группа без изменений. Для приведения к канонической форме вводят дополнительные переменные . , i=1,2,…,m. Математическая модель задачи принимает вид ,

, i=1,2,…,m , , j=1, 2, … , n, , i=1,2,,…,m, j=1,2,…,n+1.

Необходимое и достаточное условие: , . 2. Аналогично когда суммарные запросы потребителей превосходят суммарные запасы поставщиков, т.е. , часть запросов потребителей, равная = , останется не удовлетворенной. Вторая группа уравнений: , j=1, 2, … , n.

Математическая модель: , , i=1,2,…,m , , j=1, 2, … , n, , i=1,2,,…,m+1, j=1,2,…,n. Необходимое и достаточное: , .

2.) Теорема о двух линейно независимых системах векторов. Теорема о числе векторов, входящих в базис. Ранг системы векторов. Т. Если система линейно независимых векторов, содержащая n векторов, разлагается по другой линейно независимой системе векторов, содержащей m векторов, то n≤m. Док-во. Пусть есть линейно независимые системы векторов А₁,А₂, …, А_n и В₁,В₂,…,В_m, и векторы первой системы разлагаются по векторам второй системы. Предположим, что n>m.

. Существует ƛ₁, ƛ₂,…, ƛ_n, при котором А₁ ƛ₁₊А₂ ƛ_2+…+ A_nƛ_n. Равняется нулевому вектору Θ. . Должна иметь ненулевое решение. Эта система имеет ненулевое решение ƛ₁, ƛ₂,…, ƛ_n, так как по предположению число неизвестных n больше числа m. Это противоречит тому, что система векторов А₁,А₂, …, А_n является линейно зависимой. Предположение n>m неверно. Следовательно, n≤m. Т о числе векторов, входящих в базис. Любой базис системы векторов содержит одно и то же число векторов. Число векторов, входящих в базис системы векторов, называется рангом системы векторов. Док-во. Пусть система векторов А₁,А₂, …, А_n имеет два базиса. Базис Б₁=( В₁,В₂,…,В_m) содержит m векторов, а базис Б₂=(C₁, C₂,...,C_k) содержит k векторов. Каждый из базисов представляет собой независимую систему векторов и векторы каждого базиса разлагаются по векторам другого базиса. Поэтому по теореме о линейно независимых векторах m≤k и k≤m.

Билет №19

1.) Транспортная задача с ограничениями. Пусть требуется при решении транспортной задачи ограничить перевозки от поставщика с номером l к потребителю с номером k. Ограничения двух типов:   I ) x_lk > а ;   2) x_lk<b ,  а и b - постоянные величины. 1. x_lk > a , то необходимо прежде, чем решать задачу, сократить (уменьшить) запасы l-го поставщика и запросы m-го потребителя на величину а (зарезервировать перевозку x_lk = а ). После решения задачи в оптимальном решении следует увеличить объем перевозки x_lk на величину а. 2.  x_lk <b , то необходимо вместо k -го потребителя с запросами b_k ввести двух других потребителей. Один из них с номером m должен иметь запросы b '_k=b, а другой с номером п + 1- запросы b_п+1= b_k - b. Стоимости перевозок для этих потребителей остаются прежними, за исключением стоимости c_l(n+1) которая принимается равной сколь угодно большому числу М (М >> 1). После получения оптимального решения величины грузов, перевозимых к (n + 1)-му потребителю, прибавляются к величинам перевозок l-го потребителя. Так как c_l(n+1)) = М -самая большая стоимость перевозки, то в оптимальном решении клет ка с номером (l, n+ 1) останется пустой, x_l{n+1) = 0 и объем перевозки х_lk не превзойдет b . 

2.) Теорема о двух системах векторов, которым соответствуют равносильные системы уравнений. Алгоритм нахождения базиса. Т.Если двум системам векторов А₁,А₂, …, А_n и В₁,В₂,…,В_n соответствуют равносильные системы уравнений А₁х₁+А₂х₂+…+А_nx_n= Θ, B₁х₁+В₂х₂+…+В_nx_n= Θ, и векторы В₁,В₂,…,В_r образуют базис системы, то соответствующие векторы А₁, А₂,…,А_r образуют базис системы и при этом разложения соответствующих векторов систем по своим базисам совпадают, т.е. В_j=B₁ ƛ_1j+B₂ ƛ_2j+…+B_r ƛ_rj (j=r+1, 2,…, n), то A_j=A₁ ƛ_1j+A₂ ƛ_2j+…+A_r ƛ_rj (j=r+1, 2,…,n). Док-во. Пусть В₁,В₂,…,В_r (r≤n) базис системы векторов (2). Покажем, что А₁, А₂,…,А_r линейно зависимы, т.е. есть ненулевой набор ƛ₁, ƛ₂, …, ƛ_r,что А₁ ƛ₁₊А₂ ƛ_2+…+ A_r ƛ_r= Θ. А₁ ƛ₁₊А₂ ƛ_2+…+ A_r ƛ_r+ A_r+10+ A_r+20+…+ A_n0= Θ. B₁ ƛ₁+B₂ ƛ₂+…+B_r ƛ_r+B_r+10+B_r+20+…+B_n0= Θ или B₁ ƛ₁+B₂ ƛ₂+…+B_r ƛ_r= Θ при ненулевом наборе чисел ƛ₁, ƛ₂, …, ƛ_r, что возможно только при линейной зависимости векторов В₁,В₂,…,В_r. Это противоречит условию теоремы. Следовательно, А₁, А₂,…,А_r линейно независимые. В_j=B₁ ƛ_1j+B₂ ƛ_2j+…+B_r ƛ_rj (j=1, 2,…, n). Покажем, что с такими же коэффициентами ƛ_1j, ƛ_2j,…, ƛ_rj разлагается A_j по векторам А₁, А₂,…,А_{r .} B₁ ƛ₁+B₂ ƛ₂+…+B_r ƛ_r+B_r+10+B_r+20+…+B_j-10-B_j∙1+B_j+10+…+ B_n0= Θ A₁ ƛ₁+A₂ ƛ₂+…+A_r ƛ_r+A_r+10+A_r+20+…+A_j-10-A_j∙1+A_j+10+…+ A_n0= Θ, A_j= ƛ₁+A₂ ƛ₂+…+A_r ƛ_r (j=1, 2,…, n). Алгоритм нахождения базиса. 1) составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений А₁х₁+А₂х₂+…+А_nx_n= Θ; 2)привести эту систему к равносильной разрешенной системе вида E₁x₁+E₂x₂+…+E_rx_r+A’_r+1x_r+1+…+A’_jx_j+…+A’_nx_n= Θ; 3) записать базис системы векторов Б=(А₁, А₂,…,А_r); 4) записать разложения векторов по базису; коэффициентами разложения вектора A_j по этому базису являются координаты соответствующего вектора A’_j= (a’_1j, a’_2j,…,a’_rj) в разрешенной системе уравнений, т.е. A’_j=А₁ a’_1j, А₂ a’_2j,…, А_r a’_rj (j=1, 2, …, n). Система векторов, состоящая из n векторов, ранг которой равен r, может иметь несколько базисов. Число возможных базисов системы векторов определяется как число сочетаний из n по r по формуле

Билет №20

1.) Использование транспортной задачи для решения других экономических задач.

Транспортная задача по критерию времени. Задача о размещении производства с учетом транспортных затрат .Имеется m пунктов производства с объемами производства    и n пунктов потребления с объемами потребления  . Затраты на производство единицы продукции в каждом i-м пункте равны   , i=1,2,…,m. Стоимости перевозки единицы груза от каждого i–го производителя каждому j–му потребителю известны и равны  .  Суммарные объемы производства превосходят суммарные объемы потребления. Задача решается как транспортная задача, матрица стоимостей которой составляется как сумма матриц: С=( )=( + ), i=1,2,,…,m,    j=1,2,…,n. Вводится фиктивный потребитель. Затем задача решается обычным способом. Задача о назначениях, или проблема выбора. Имеется  m групп людей численностью   , которые должны выполнять n видов работ объемом  . Известна производительность каждой i–й группы людей при выполнении каждого j–го вида работ, i=1,2,,…,m,    j=1,2,…,n.  . Математическая модель по аналогии с транспортной задачей ,    ,   i=1,2,…,m ,   ,   j=1, 2….n,   ,      i=1,2,,…,m,    j=1,2,…,n.                

  Целевая функция: - . Транспортная задача по критерию времени. Возникает при перевозке срочных грузов. Имеется m поставщиков с запасами однородного груза в количестве и n потребителей . Известно , i=1,2,,...,m, j=1,2,...,n - время, за которое груз доставляется от каждого i-го поставщика каждому j-му потребителю. Математическая модель: х_ij - объем перевозимого груза от i-го поставщика j-му потребителю. Х=(х_ij) i=1,2,,...,m, j=1,2,...,n - некоторое опорное решение задачи. Обозначим через Т(Х) наибольшее значение элементов матрицы Т=(t_ij), i=1,2,,...,m, j=1,2,...,n, соответствующих клеткам таблицы, занятым опорным решением: Т(Х)=max{t_ij}. Математическая модель имеет вид: Т(Х)= max{t_ij}  min, , i=1,2,...,m , j=1, 2, ... , n, х_ij >=0, i=1,2,,...,m+1, j=1,2,...,n. Находится начальное опорное решение Х1. определяется значение целевой функции Т(Х1)= max{t_ij}= t_l1k1. Все свободные клетки со значением t_ik >T(X1), исключаются из рассмотрения. Чтобы понизить значение целевой ф-ции, необходимо освободить клетку (l, k), для которой t_ij достигает максимума. Для этого строят разгрузочные циклы, которые могут включать в свой состав несколько свободных клеток. В каждом разгрузочном цикле, начиная с разгружаемой клетки (l, k), расставляются поочередно знаки "-" и "+" и осуществляется сдвиг на величину . Если удается эту клетку разгрузить, то она исключается из рассмотрения (зачеркивается). Получается новое опорное решение Х2, на котором значение целевой функции меньше, чем на Х1.

2.) Базис как максимальная линейно независимая подсистема векторов. Пусть в системе векторов А₁, А₂, …, А_n имеется хотя бы один отличный от нулевого вектор и этим вектором является А₁. Будем искать другой вектор системы, который линейно независим с вектором А_1. Пусть таким вектором является А₂. Векторы А₁ и А₂ образуют подсистему линейно независимых векторов. Продолжим увеличивать число векторов в подсистеме так, что бы они оставались линейно независимыми. Пусть А₁, А₂, …, А_r линейно независимые, а присоединение любого другого вектора системы А_j приводит к линейно зависимой подсистеме. Тогда векторы А₁, А₂, …, А_rобразуют базис системы А₁, А₂, …, А_n (они удовлетворяют условию базиса: 1. Они линейно независимые; 2. Любой вектор системы можно разложить по ним.) Покажем, что вектор А_j разлагается по векторам А₁, А₂, …, А_r. А₁, А₂, …, А_r, А_j– линейно независимые, то есть ненулевой набор чисел b₁, b₂, …, b_r, b_j, что A₁b₁+A₂b₂ +…+A_rb_r+A_jb_j=©. b_j не равно 0, но если это так, то какое0либо из чисел отлично от нуля, то A₁b₁+A₂b₂ +…+A_rb_r=© при ненулевом наборе чисел, что противоречит линейной независимости векторов А₁, А₂, …, А_r. Поэтому базис называют максимально линейно независимой подсистемой вектором. Т. Если ранг системы векторов равен r, то любая подсистема из r линейно независимых векторов является базисом системы векторов. (Так как ранг = r, то любая подсистема из r является максимально линейно независимой подсистемой и базисом системы векторов.) N-мерное векторное пространство. Множеством всех n-мерных векторов, рассматриваемое в совокупности с линейными операциями сложения и умножения на число, называется n-мерным векторным пространством Rⁿ. Базисом Rⁿ может служить полный набор из n различных единичных векторов E₁, E₂, …, E_n или любая другая подсистема из n линейно независимых векторов.