Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
линал прак.2011.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
25.09.2019
Размер:
1.49 Mб
Скачать

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Российский экономический университет им. Г.В.Плеханова»

Кафедра Высшей математики

Специальность 080100 «Финансы и кредит»

Дисциплина Линейная алгебра

Билет № 1

1. Составить математическую модель задачи линейного программирования об использовании ресурсов (производственной задачи).

2. Теорема о решении однородной системы линейных уравнений.

3. Решить симплексным методом

с использованием искусственных

переменных

4. Решить транспортную задачу методом потенциалов

200

400

100

200

200

1

7

12

2

100

2

3

8

4

200

3

5

4

6

200

4

4

3

8

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Российский экономический университет им. Г.В.Плеханова»

Кафедра Высшей математики

Специальность 080100 «Финансы и кредит»

Дисциплина Линейная алгебра

Билет № 2

1. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов, их свойства.

2. Необходимые и достаточные условия разрешимости транспортной задачи линейного программирования.

3. Решить симплексным методом

с использованием искусственных

переменных

4. Решить транспортную задачу методом потенциалов

200

400

100

200

200

2

1

3

5

100

4

3

4

4

100

5

2

3

6

400

3

6

5

2

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Российский экономический университет им. Г.В.Плеханова»

Кафедра Высшей математики

Специальность 080100 «Финансы и кредит»

Дисциплина Линейная алгебра

Билет № 3

1. Транспортная задача линейного программирования. Текстовая формулировка. Математическая модель.

2. Базис системы векторов. Теорема о единственности разложения вектора по базису.

3. Решить симплексным методом

с использованием искусственных

переменных

4. Решить методом потенциалов

10

30

30

40

10

3

1

3

4

30

5

1

2

2

60

2

3

4

6

40

7

2

5

3

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Российский экономический университет им. Г.В.Плеханова»

Кафедра Высшей математики

Специальность 080100 «Финансы и кредит»

Дисциплина Линейная алгебра

Билет № 4

1. Матрицы. Линейные операции над ними. Умножение матриц.

2. Теорема об улучшении опорного решения задачи линейного программирования, её следствия (признак оптимальности опорного решения).

3. Решить симплексным методом

с использованием искусственных

переменных

4. Решить методом потенциалов

20

20

40

40

20

4

5

2

4

40

3

1

3

5

80

2

7

6

8

40

3

3

1

4

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Российский экономический университет им. Г.В.Плеханова»

Кафедра Высшей математики

Специальность 080100 «Финансы и кредит»

Дисциплина Линейная алгебра

Билет № 5

1. Графический метод решения задачи линейного программирования

2. Теорема об оптимальности опорного решения задачи линейного программирования с искусственными переменными.

3. Решить симплексным методом

с использованием искусственных

переменных

4. Решить методом потенциалов

100

200

200

300

100

1

3

4

1

200

5

2

2

7

400

4

4

3

6

200

7

2

5

3

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Российский экономический университет им. Г.В.Плеханова»

Кафедра Высшей математики

Специальность 080100 «Финансы и кредит»

Дисциплина Линейная алгебра

Билет № 6

1. Опорное решение транспортной задачи линейного программирования, методы его построения.

2. Теоремы об отсутствии оптимального решения задачи линейного программирования с искусственными переменными.

3. Решить симплексным методом

с использованием искусственных

переменных

,

4. Решить методом потенциалов

1000

1500

500

2000

500

3

2

1

5

1000

3

6

5

4

1000

4

8

5

7

1500

5

7

2

6

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Российский экономический университет им. Г.В.Плеханова»

Кафедра Высшей математики

Специальность 080100 «Финансы и кредит»

Дисциплина Линейная алгебра

Билет № 7

1. Приведение общей задачи линейного программирования к каноническому виду.

2. Теорема об экстремуме целевой функции задачи линейного программирования.

3. Решить симплексным методом

с использованием искусственных

переменных

4. Решить методом потенциалов

40

60

50

40

40

1

2

3

1

50

4

2

2

9

50

5

7

10

5

40

4

15

13

6

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Российский экономический университет им. Г.В.Плеханова»

Кафедра Высшей математики

Специальность 080100 «Финансы и кредит»

Дисциплина Линейная алгебра

Билет № 8

1. Признак оптимальности опорного решения в методе потенциалов решения транспортной задачи линейного программирования.

2. Первая теорема двойственности.

3. Решить симплексным методом

с использованием искусственных

переменных

,

4. Решить методом потенциалов

10

15

15

10

5

3

4

5

4

10

1

5

7

1

15

4

6

6

3

10

2

7

4

7

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Российский экономический университет им. Г.В.Плеханова»

Кафедра Высшей математики

Специальность 080100 «Финансы и кредит»

Дисциплина Линейная алгебра

Билет № 9

1. Обратная матрица.

2. Вторая теорема двойственности.

1. Решить симплексным методом

с использованием искусственных

переменных

,

2. Решить методом потенциалов

50

25

50

25

25

3

1

8

1

50

2

5

2

3

75

9

4

6

5

25

7

3

10

3

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Российский экономический университет им. Г.В.Плеханова»

Кафедра Высшей математики

Специальность 080100 «Финансы и кредит»

Дисциплина Линейная алгебра

Билет № 10

1. Двойственные задачи линейного программирования, правило их составления.

2. Построение начального опорного решения задачи линейного программирования и переход от одного опорного решения к другому.

3. Решить симплексным методом

с использованием искусственных

переменных

,

4. Решить методом потенциалов

30

90

60

60

30

1

3

4

5

60

9

5

2

4

90

3

4

5

4

90

5

7

2

6

Билет № 1

2. Теорема о решении однородной системы линейных уравнений.

Теорема 2.6 о решении однородной системы уравнений. Если число неизвестных однородной системы n больше числа уравнений m, то система имеет хотя бы одно ненулевое решение.

Решение называется нулевым, если все его координаты равны нулю.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как правые части системы равны нулю, то она имеет нулевое решение Х = (0, 0, … , 0), т. е. совместна. Если эту систему привести к равносильной разрешенной, то она будет иметь хотя бы одну свободную переменную, так как число уравнений m меньше числа неизвестных n. Свободным неизвестным можно придать ненулевые значения и получить частное ненулевое решение.

Билет № 2

2. Необходимые и достаточные условия разрешимости транспортной задачи линейного программирования.

Теорема 6.1. Для того, чтобы транспортная задача линейного программирования имела решение, необходимо и достаточно, чтобы суммарные запасы поставщиков равнялись суммарным запросам потребителей , т. е. задача должна быть с правильным балансом.

До к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть задача имеет допустимое решение

, , i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.

Докажем, что . Подставим в уравнения системы ограничений (6.2) и (6.3), получим , i = 1, 2, ..., m, , j = 1, 2, ..., n .

Просуммируем первую и вторую группы тождеств по отдельности:

и .

Отсюда следует, что задача имеет правильный баланс .

Достаточность. Пусть задача имеет правильный баланс .

Докажем, что в этом случае задача имеет оптимальное решение.

Сначала убедимся в том, что область допустимых решений задачи является непустым множеством. Проверим, что , i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, .., n является допустимым решением. Подставим в левые части уравнений системы ограничений (6.2), (6.3), получим

, i = 1, 2, ..., m,

, j = 1, 2, ..., n,

т. е. уравнения обращаются в тождества. Очевидно, что удовлетворяет и условиям неотрицательности.

Далее покажем, что существует оптимальное решение. Очевидно, стоимости перевозок единиц груза ограничены сверху и снизу , где C и D постоянные величины. Можно записать

.

Следовательно, целевая функция ограничена на множестве допустимых решений и, как всякая непрерывная функция, достигает своего наименьшего и наибольшего значений.

Билет № 3

2. Базис системы векторов. Теорема о единственности разложения вектора по базису.

Базисом системы векторов называется такая ее подсистема , которая линейно независимая и по которой разлагается любой вектор системы. Здесь r – число векторов, входящих в базис (rn).

Теорема 3.1. О единственности разложения векторов по базису. Любой вектор системы разлагается по базису этой системы единственным образом.

Д о к а з а т е л ь с т в о от противного. Предположим, что имеется два разложения вектора системы по базису . Запишем эти разложения и вычтем из первого второе, получим

Так как , образующие базис, линейно независимые, то последнее равенство возможно только при нулевом наборе множителей при векторах, т. е. только при .

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.