Билет № 5

2. Теорема об оптимальности опорного решения задачи линейного программирования с искусственными переменными.

Теорема 4.2 (признак оптимальности решения). Если расширенная задача линейного программирования имеет оптимальное решение ,

у которого все искусственные переменные равны нулю, то исходная задача имеет оптимальное решение , которое получается из отбрасыванием этих нулевых искусственных переменных.

Д о к а з а т е л ь с т в о (от противного). Пусть расширенная задача на максимум имеет оптимальное решение , т.е. . По лемме 4.1 допустимому решению соответствует допустимое решение исходной задачи такое, что .

Покажем, что  оптимальное решение исходной задачи, т.е.

Предположим, что оптимальным решением исходной задачи является , т.е. , в частности . По лемме 4.1 существует допустимое решение расширенной задачи такое, что . Тогда , что противоречит оптимальности .

Билет № 6

2. Теоремы об отсутствии оптимального решения задачи линейного программирования с искусственными переменными.

Теорема 4.3 (признак отсутствия решения ввиду несовместности системы ограничений). Если расширенная задача имеет оптимальное решение, у которого хотя бы одна искусственная переменная отлична от нуля, то исходная задача не имеет решения ввиду несовместности системы ограничений.

Д о к а з а т е л ь с т в о (от противного). Пусть расширенная задача на максимум имеет оптимальное решение , т. е. ; причем хотя бы одна из искусственных переменных больше нуля. Покажем, что система ограничений исходной задачи в этом случае несовместна.

Предположим, что исходная задача имеет некоторое допустимое решение . По лемме 4.1 ему соответствует допустимое решение расширенной задачи и . На основании леммы 4.2 имеем , что противоречит оптимальности . Теорема доказана.

Теорема 4.4 (признак отсутствия решения ввиду неограниченности целевой функции). Если расширенная задача не имеет решения ввиду неограниченности целевой функции, то и исходная задача также не имеет решения по той же причине.

Д о к а з а т е л ь с т в о (от противного). Пусть расширенная задача на максимум не имеет решения ввиду неограниченности функции, то есть +. Предположим, что исходная задача имеет оптимальное решение . По лемме 4.1 ему соответствует допустимое решение расширенной задачи и . Так как +, то найдется такое допустимое решение , что .