Билет №3.

1)

2.) Обратная матрица, алгоритм ее нахождения. Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка А= . Матрица А^-1 называется обратной по отношению к матрице А, если АА^-1=А^-1А=Е, где Е – единичная матрица n-го порядка. Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц, т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадает. Алгоритм нахождения обратной матрицы.1. Запись в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е. 2. Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом одновременно преобразовывать матрицу Е. 3. Если необходимо, то переставить строки последней таблицу так, что бы под матрицей А исходной таблицы получилась матрица Е. 4. Записать обратную матрицу А^-1, которая находится в последней таблице под матрицей Е в исходной таблице. Необходимые и достаточные условия существования обратной матрицы. Т. Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной. Матрица называется невырожденной, если векторы-столбцы матрицы являются линейно независимыми. Для того чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т. е. r = n.Док-во. Необходимость. Пусть матрица А имеет обратную матрицу . Покажем, что векторы-столбцы матрицы линейно независимые. Справедливо равенство ,где = (0, 0, …, 0, 1, 0, …, 0)  единичный вектор. .Составим линейную комбинацию векторов с числовыми коэффициентами и заменим в этой комбинации все эти векторы на , получим

. Покажем, что . Умножим слева на , , , ,

. линейно независимые, то последнее равенство выполняется только при нулевом наборе чисел . Достаточность. Пусть векторы линейно независимые. Покажем, что существует .Любая линейно независимая система n-мерных векторов может служить базисом n-мерного векторного пространства . Поэтому - базис и разложить единичные векторы по нему. = , (j = 1,2,…, n).Покажем, что матрица В - обратная для матрицы А.

АВ = = ( ) = ( ) = Е.

Решение матричных уравнений. Вид матричных уравнений: АХ=В, ХА=В, АХВ=С, где А, В и С – матрицы, Х – искомая матрица. Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы. Из уравнения АХ=В: А^-1АХ=В => (А^-1А)Х=А^-1В => ЕХ=А^-1В =>Х=А^-1В. Аналогично решаются другие уравнения. Из уравнения ХА=В: ХАА^-1=ИА^-1, Х(АА^-1)=ВА^-1, Х=ВА^-1. Из уравнения АХВ=С: А^-1АХВВ^-1=А^-1СВ^-1, (А^-1А)Х(ВВ^-1)=А^-1СВ^-1, Х=А^-1СВ^-1.

Б илет №4

1.)

2.)

билет №5

1.) Теорема об экстремуме целевой функции.

Целевая функция задачи лин. Порграм. Достигается экстремума в угловой точке области допустимых решений, причём, если целевая функция достигает экстремума в нескольких угловых точках области допустимых решений, то она также достигает экстремума в любой выпуклой линейной комбинации этих точек.

Доказательство. Будет считать, что решается задача на нахождение максимума целевой функции

Z(x)=CX->max,

AX=A0,

X≥Ө.

Докажем, что целевая функция достигает экстремума в угловой точке области допустимых решений G от противного. Если Х* является оптимальным решением, то Z(X*)>Z(X) при любом Х, принадлежащем G. Предположим, что оптимальное решение задачи Х* не является угловой точкой. Тогда по теореме о выпуклости многоугольника Х*= , ƛj≥0 при любом j, =1, Xj (j=1,2,….,n) – угловые точки области G. Найдём Z(X*)=CX*=C Xj= CXj= Z(Xj). Среди значений Z(Xj) выберем наибольшее. Пусть это будет Z(Xk), т.е. maxZ(Xj)=Z(Xk). Тогда Z(X*)≤ Z(Xk)=Z(Xk) =Z(Xk), что противоречит тому, что Х* оптимальное решение в задаче на максимум. Следовательно, Х* является угловой точкой области G. 2. Докажем второе утверждение теоремы. Пусть угловые точки области допустимых решений Х1, Х2, …..Хк являются оптимальными решениями, т.е. Z(X1)=Z(X2)=…=Z(Xk) и Z(X1)≥Z(X) при любом х, принадлежащем G. Выпуклая линейной комбинации этих угловых точек равна Х* = Xj, ƛj≥0 при любом j, =1. Найдём значение целевой функции Z(X*)=CX*=C Xj= = =Z(X1) =Z(X1), т.е. этот вектор Х* также является решением.

2.) Собственные значения и собственные векторы матриц. Приведение квадратной матрицы к диагональному виду. Пусть имеется матрица n-го порядка . Собственным значением матрицы А называется число ƛ, при которых существует ненулевой вектор Х, удовлетворяющий уравнению АХ=ƛХ. Собственным вектором матрицы А, принадлежащим ее собственному значению ƛ, называется ненулевой вектор Х, удовлетворяющий уравнению АХ=ƛХ. Уравнение АХ=ƛХ можно записать в виде АХ-ƛХ= Θ или (А-ƛЕ)Х= Θ. В координатной записи данное матричное уравнение представляет систему уравнений с n неизвестными

Данная однородная система уравнений имеет хотя бы одно ненулевое решение, если ранг матрицы системы r(A- ƛЕ) меньше числа неизвестных n. Если векторы-столбцы матрицы A- ƛЕ линейно зависимые, то ее определитель равен нулю, т.е. . Данное уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А. Если определитель | A- ƛЕ | раскрыть , то получится многочлен n-ой степени вида а₀ƛⁿ+a₁ƛ^n-1+…+a_n-1ƛ+a_n. Характеристическое уравнение имеет вид а₀ƛⁿ+a₁ƛ^n-1+…+a_n-1ƛ+a_n=0. Данное уравнение имеет n корней, образующих множество ƛ(А) собственных значений матрицы А. Св-во 1. Для любого собственного значения ƛ_k(А) существует n-r_k линейно независимых собственных векторов F₁(ƛ_k), F₂(ƛ_k),…, F_n-rk(ƛ_k), образующих фундаментальную систему решений однородной системы уравнений (А- ƛ_k Е)Х= Θ. Здесь r_k=r(А- ƛ_k Е) – ранг матрицы А- ƛ_k Е. Св-во 2. Множество всех собственных векторов А(ƛ_k)_, соответствующих собственному значению ƛ_k(А) матрицы А, совпадает с общим решением однородной системы уравнений (А- ƛ_k Е)Х= Θ, т.е. А(ƛ_k)={X|x=F₁(ƛ_k)t₁+F₂(ƛ_k)t₂+…+F_n-rk(ƛ_k)t_n-rk, t₁, t₂, …,t_n-rk € R}. Св-во 3. Любые два собственных вектора F₁(ƛ_k) и F₂(ƛ_k), соответствующие различным собственным значениям ƛ₁≠ƛ₂ характеристического уравнения | A- ƛЕ | = 0 матрицы А, являются линейно независимыми. Св-во 4. Система собственных векторов, составленная из систем собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям ƛ₁(А), ƛ₂(А),…, ƛ_n(A), является линейно зависимой. Приведение квадратной матрицы к диагональному виду. Говорят, что матрица А приводится к диагональному виду с помощью матрицы Т, если матрица Т^-1АТ является диагональной. Для нахождения матрицы Т необходимо найти собственные значения и собственные векторы матрицы А. Матрицу Т составляют из собственных векторов – столбцов. Если эта матрица является квадратной, то матрицу А можно привести к диагональному виду.

Билет №6

1.) Теоремы о взаимосвязи опорных решений задачи линейного программирования и угловых точек области допустимых решений. Опорное решение – допустимое решение для которого, векторы условий соответствующие положительным компонентам этого решения являются линейно независимыми. Т. Любое опорное решение является угловой точкой области допустимых решений. Док-во. Пусть  опорное решение с базисом некоторой задачи с системой ограничений . Предположим, что X не является угловой точкой, тогда оно – выпуклая линейная комбинация каких-либо точек области допустимых решений, например, и , т.е. . Так как последние n  m координат вектора X равны нулю, а и положительные, то последние n  m координат векторов и также равны нулю. Подставим в систему ограничений задачи: ,

Векторы образуют базис, то они линейно независимые, а потому данное равенство может выполнятся только тогда, когда Отсюда получаем Следовательно, , и опорное решение X не является выпуклой линейной комбинацией каких-либо допустимых решений, а является угловой точкой области допустимых решений. Т. Любая угловая точка области допустимых решений является опорным решением. Док-во. Пусть угловая точка области допустимых решений и при j = 1, 2,…, m. Чтобы доказать, что это решение - опорное, достаточно показать, что векторы , соответствующие положительным координатам решения, являются линейно независимыми. Пусть векторы линейно зависимы. Тогда существует ненулевой набор чисел такой, что Так как X допустимое решение, то имеет место равенство , т.е. - решение системы ограничений задачи. Аналогично доказываем, что решением системы является также вектор . Для того, чтобы векторы и удовлетворяли условиям неотрицательности, выберем  , что . Это возможно, так как при j = 1, 2,…, m.. При таком выборе числа  векторы и являются допустимыми. Нетрудно видеть, что , т.е. X - выпуклая линейная комбинация и . Это противоречит тому, что X является угловой точкой. Следовательно, векторы линейно независимые, и решение X является опорным.

2.) Квадратичная форма: ее стандартный вид, изменение при невырожденном линейном преобразовании, канонический вид. Знакоопределенность квадратичных форм. Критерий Сильвестра. Квадратичной формой n переменных x₁,x₂,…,x_n называется функция F(x₁,x₂,…,x_n), представляющая собой сумму, каждое слагаемое которой имеет вторую степень относительно этих переменных. Обычно используют квадратичные формы следующего вида(cтандартная форма):

Матрица данного вида называется матрицей квадратичной формы.

.Матрица является симметрической, т.к. a_ij=a_ji i,j=1,2,…,n. Квадратичная форма в векторно-матричном виде: F(x)=X^TAX, где . Преобразование квадратичной формы при невырожденном линейном преобразовании координат. X=CY, , , . Здесь x₁ , x₂ , …, x_n – старые переменные, y₁ , y₂ , …, y_n -новые переменные, С – матрица преобразования координат. Преобразование координат называется невырожденным, если матрица преобразования С невырожденная. Квадратичная форма F(x)=X^TAX в новой системе координат примет вид F(Y)= (CY)^TA(CY)=Y^TC^TACY=Y^TA*Y, где A*=C^TAC- матрица квадратичной формы в новой системе координат. Канонический вид квадратичной формы. Квадратичная форма называется канонической, если все ее коэффициенты a_ij при i ≠ j равны нулю, т.е. она имеет вид:

Матрица такой квадратичной формы является диагональной _. Т. Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования. Знакоопределенность квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно. Т. Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами канонической квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду. РАНГОМ квадратичной формы называется отличных от нуля коэффициентов в ее каноническом виде. Ранг квадратичной формы совпадает с рангом матрицы квадратичной формы. Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если она принимает положительные(отрицательные) значения в любой точке n-мерного пространства , кроме начала координат, т.е. . Т. Для того чтобы квадратичная форма F(Х)=X^TAX была положительно(отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы А были положительные(отрицательные). Критерий Сильвестра. Т. Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительны, т.е. , где (k=1,2,…,n)

Т. Если квадратичная форма удовлетворяет критерию Сильвестра, то она может быть приведена к каноническому виду