Билет №7

1.) Построение начального опорного решения и переход от одного опорного решения к другому в симплексном методе (вывод формул). Получим правило выбора разрешающих элементов для преобразований Жордана, обеспечивающее сохранение неотрицательности правых частей системы уравнений. Пусть разрешающим элементом для преобразования Жордана является коэффициент при неизвестной в уравнении с номером l. В результате преобразования Жордана правые части уравнений, как известно, пересчитываются по следующим формулам: . 1. Чтобы правая часть уравнения с разрешающим элементом оставалась неотрицательной, надо: . Так как , то первое условие для состоит в том, что .

2. Неотрицательные правые части остальных уравнений, . Для получения требований, налагаемых на , рассмотрим два случая: а) если , то из-за , , , без дополнительных условий имеем ;

б) если же , то неравенство , . Данное неравенство должно выполняться для любого уравнения с номером i, в котором . Для удобства вычислений: вспомогательный параметр , k  номер вектора условия , вводимого в базис, l  номер вектора , выводимого из базиса.

С помощью данного условия возможно выбрать разрешающий элемент в любом столбце k матрицы системы ограничений, в котором имеется хотя бы один положительный элемент. При нарушении данного условия выбора разрешающего элемента в правой части системы уравнений появляются отрицательные величины. Используя данное условие, можно найти начальное опорное решение.

Аналогичное условие может быть использовано при переходе от одного опорного решения к другому. Пусть система уравнений-ограничений с помощью подходящего выбора разрешающих элементов приведена к равносильной разрешённой так, что правые части системы сохранились неотрицательными, и имеет вид

.

Тогда базисное решение является допустимым и опорным решением с базисом из единичных векторов .

Очевидно, для перехода от этого опорного решения к новому необходимо использовать соотношение при , где k  номер вектора, вводимого в базис, l  номер вектора, выводимого из базиса,  координаты опорного решения,  коэффициенты разложения вектора по базису опорного решения.

2.) Теорема о двух линейно независимых системах векторов. Теорема о числе векторов, входящих в базис. Ранг системы векторов. Т. Если система линейно независимых векторов, содержащая n векторов, разлагается по другой линейно независимой системе векторов, содержащей m векторов, то n≤m. Док-во. Пусть есть линейно независимые системы векторов А₁,А₂, …, А_n и В₁,В₂,…,В_m, и векторы первой системы разлагаются по векторам второй системы. Предположим, что n>m.

. Существует ƛ₁, ƛ₂,…, ƛ_n, при котором А₁ ƛ₁₊А₂ ƛ_2+…+ A_nƛ_n. Равняется нулевому вектору Θ. . Должна иметь ненулевое решение. Эта система имеет ненулевое решение ƛ₁, ƛ₂,…, ƛ_n, так как по предположению число неизвестных n больше числа m. Это противоречит тому, что система векторов А₁,А₂, …, А_n является линейно зависимой. Предположение n>m неверно. Следовательно, n≤m. Т о числе векторов, входящих в базис. Любой базис системы векторов содержит одно и то же число векторов. Число векторов, входящих в базис системы векторов, называется рангом системы векторов. Док-во. Пусть система векторов А₁,А₂, …, А_n имеет два базиса. Базис Б₁=( В₁,В₂,…,В_m) содержит m векторов, а базис Б₂=(C₁, C₂,...,C_k) содержит k векторов. Каждый из базисов представляет собой независимую систему векторов и векторы каждого базиса разлагаются по векторам другого базиса. Поэтому по теореме о линейно независимых векторах m≤k и k≤m.

Билет №8