27 Вопрос: признаки сходимости и признаки сравнения рядов

1.2Достаточные признаки сходимости знакоположительного ряда. Необходимое и достаточное условие сходимости знакоположительного числового ряда. Для сходимости знакоположительного числового ряда   необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена. Начнем с признаков сравнения рядов. Их суть заключается в сравнении исследуемого числового ряда с рядом, сходимость или расходимость которого известна.

1.2.1Первый, второй и третий признаки сравнения.

Первый признак сравнения рядов. Пусть   и   - два знакоположительных числовых ряда и выполняется неравенство   для всех k = 1, 2, 3, ... Тогда из сходимости ряда   следует сходимость  , а из расходимости ряда   следует расходимость  . Первый признак сравнения используется очень часто и представляет собой очень мощный инструмент исследования числовых рядов на сходимость. Основную проблему представляет подбор подходящего ряда для сравнения. Ряд для сравнения обычно (но не всегда) выбирается так, что показатель степени его k-ого члена равен разности показателей степени числителя и знаменателя k-ого члена исследуемого числового ряда. К примеру, пусть  , разность показателей степени числителя и знаменателя равна 2 – 3 = -1, поэтому, для сравнения выбираем ряд с k-ым членом  , то есть, гармонический ряд.

Второй признак сравнения. Пусть   и   - знакоположительные числовые ряды. Если  , то из сходимости ряда   следует сходимость  . Если  , то из расходимости числового ряда   следует расходимость  . Следствие. Если   и  , то из сходимости одного ряда следует сходимость другого, а из расходимости следует расходимость. Исследуем ряд   на сходимость с помощью второго признака сравнения. В качестве ряда   возьмем сходящийся ряд  . Найдем предел отношения k-ых членов числовых рядов:   Таким образом, по второму признаку сравнения из сходимости числового ряда   следует сходимость исходного ряда.

Третий признак сравнения. Пусть   и   - знакоположительные числовые ряды. Если с некоторого номера N выполняется условие  , то из сходимости ряда   следует сходимость  , а из расходимости ряда   следует расходимость  . 

1.2.2Признак Даламбера.

Пусть   - знакоположительный числовой ряд. Если  , то числовой ряд сходится, если  , то ряд расходится. Замечание. Признак Даламбера справедлив, если предел бесконечен, то есть, если  , то ряд сходится, если  , то ряд расходится. Если  , то признак Даламбера не дает информацию о сходимости или расходимости ряда и требуется дополнительное исследование.

28 Вопрос: обобщенный гармонически ряд

Сумма вида  , где s – некоторое действительное число, называетсяобобщенно гармоническим числовым рядом.