23 Вопрос: фун-ции нескольких переменных, частные производные

Определение 1. Функцией n переменных    u (x1, x2,  … , xn) называется отображение u:  Rn  ?  R , т.е. любое правило, которое каждой точке x = (x1, x2,  … , xn) О D М Rn ставит в соответствие действительное число u О R .

D М Rn называется областью определения функции u и записывается D(u) .

Функцию n переменных записывают так: u = f(x1, x2,  … , xn) .

Пространство Rn считаем евклидовым с ортонормированным базисом.

Определение 2. Множество точек x = (x1, x2,  … , xn) О Rn , удовлетворяющих неравенству

(x1 ? a1)2 + (x2 ? a2)2 + … + (xn ? an)2 < δ2называется открытым n–мерным шаром радиуса δ с центром в точке a = (a1, a2,  … , an) , или δ–окрестностью точки a .

Символом Oδ(a) обозначается т.н. проколотая окрестностьточки a = (a1, a2,  … , an) О Rn , т.е. множество точек M(x1, x2,  … , xn) О Rn , удовлетворяющих неравенствам

0 < (x1 ? a1)2 + (x2 ? a2)2 + … + (xn ? an)2 < δ2.Определение 3.

1. Точка a называется внутренней точкой множества M МRn , если существует окрестность точки a, все точки которой принадлежат данному множеству M.

2. Точка a называется граничной точкой множества M М Rn , если любая окрестность точки a содержит как точки принадлежащие данному множеству M, так и не принадлежащие этому множеству.

3. Множество всех граничных точек множества называется егограницей.

4. Точка a называется предельной точкой множества, если любая окрестность точки a содержит точки принадлежащие данному множеству, отличные от a.

Определение 4.

1. Множество называется открытым, если все его точки внутренние.

2. Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.

3. Множество называется ограниченным, если все его точки содержатся в некотором шаре.

4. Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, целиком принадлежащей данному множеству.

5. Открытое связное множество называется областью.

24 Вопрос: дифференциал фун-ции 2 переменных

Функция u = f(x1, x2,  … , xn) называетсядифференцируемой в точке a = (a1, a2,  … , an) , если ее полное приращение

            

можно представить в виде

                  

(1)где Ak — некоторые числа, не зависящие от Δxk ( k = 1,2, … ,n ), αk— функции Δx1,  … , Δxn , бесконечно малые при Δx1 ? 0,  … , Δxn? 0 и равные нулю при Δx1 = 0,  … , Δxn = 0 .

Пусть ρ = ?

(Δx1)2 + … + (Δxn)2 — расстояние между точками (x1,  … , xn) и   (x1 + Δx1,  … , xn + Δxn) . Тогда определение (1) можно записать в эквивалентной форме:

           

(2)где o(ρ)/ρ ? 0 при ρ ? 0 и o(0) = 0 .

Выражение

       

— линейная относительно Δx1, … ,Δxn часть приращения, o(ρ) — бесконечно малая более высокого порядка, чем ρ .

Определение 2. Если функция u = f(x1, x2,  … , xn) дифференцируема в точке a = (a1, a2,  … , an) , то линейная относительно Δx1,  … , Δxn часть ее приращения называетсядифференциалом (или полным дифференциалом) функции u в точке a .

Таким образом

        

Теорема 1. Если функция u = f(x1, x2,  … , xn) дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова ``Курс высшей математики: Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения". М.: Изд–во МЭИ, 2002 (стр. 126).

Необходимое условие дифференцируемости:

Теорема 2. Если функция u = f(x1, x2,  … , xn) дифференцируема в точке a , то в этой точке существуют частные производные по каждому аргументу x1,  … , xn , причем

?u

?xk

   

где Ak — числа в определении (1).

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова ``Курс высшей математики: Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения". М.: Изд–во МЭИ, 2002 (стр. 122).

Из этой теоремы следует, что приращение дифференцируемой функции можно записать в виде

  

?u

?x1

    

?u

?xn

          

и ее дифференциал

 

?u

?x1

    

?u

?xn

  

Достаточное условие дифференцируемости:

Теорема 3. Если функция u = f(x) имеет в окрестности точки aчастные производные, непрерывные в этой точке, то f(x) дифференцируема в точке a .