Правило Лопиталя

 

Пусть при  x  a  для  функций  f ( x ) и  g ( x ), дифференцируемых в некоторой окрестности точки  а , выполняются условия:

Эта теорема называется  правилом Лопиталя. Она позволяет вычислять пределы отношения функций, когда и числитель, и знаменатель cтремятся либо к нулю, либо к бесконечности. Правило Лопиталя, как говорят математики, позволяет избавляться от неопределённостей типа:  0 / 0  и   / .

При неопределённостях другого типа:    –  ,  ??0 ,  0 ⁰ ,   ⁰,     нужно проделать предварительно ряд  тождественных преобразований,  чтобы привести их  к  какой-то из двух  неопределённостей:  либо  0 / 0 ,  либо   / .  После этого можно применять правило Лопиталя. Покажем некоторые из возможных преобразований указанных неопределённостей.

1)  –  : пусть   f ( x )   , g ( x )   , тогда данная неопределённость приводится к типу  0 / 0 следующим преобразованием:

2)  ? 0 : пусть   f ( x )  ,  g ( x )   0 , тогда данная неопределённость приводится к типу  0 / 0  или   /  с помощью преобразований: 

3)остальные неопределённости приводятся к первым двум с помощью логарифмического преобразования:   

Если после применения правила Лопиталя неопределённость типа  0 / 0  или   /   осталась, нужно применить  его повторно. Многократное применение правила Лопиталя может привести к требуемому результату. Правило Лопиталя применимо и в случае, если  x   .

11 Вопрос: дифференциал функции Понятие дифференциала функции

Пусть функция у=?(х) имеет в точке х отличную от нуля производную.

Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать ? у/? х=?'(х)+α, где α?0 при ?х?0, или ?у=?'(х)•?х+α•?х.

Таким образом, приращение функции ?у представляет собой сумму двух слагаемых ?'(х)•?х и а•?х, являющихся бесконечно малыми при ?x?0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с ?х, так кака второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем ?х:

Поэтому первое слагаемое ?'(х)? ?х называют главной частью приращения функции ?у.

Дифференциалом функции у=?(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или d?(х)):

dy=?'(х)•?х.                                             (24.1)

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

Так как у'=х'=1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy=dx=?x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=?х.

Поэтому формулу (24.1) можно записать так:

dy=?'(х)dх,                                              (24.2)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (24.2) следует равенство dy/dx=?'(х). Теперь обозначение

производной dy/dx можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.

<< Пример 24.1  

Найти дифференциал функции ?(х)=3x²-sin(l+2x).

Решение: По формуле dy=?'(х) dx находим

dy=(3х²-sin(l+2x))'dx=(6х-2cos(l+2х))dx.

<< Пример 24.2

Найти дифференциал функции

Вычислить dy при х=0, dx=0,1.

Решение:

Подставив х=0 и dx=0.1, получим

12 вопрос: геометрическая смысл дифференциала, применение дифференциала к приближенному вычислению На графике функции  возьмем произвольную точку  и дадим аргументу  приращение . При этом функция получит приращение (на рисунке отрезок ).

Проведем касательную к кривой  в точке  и обозначим угол ее наклона к оси  через , тогда. Из треугольника  находим  , т.е. .

Таким образом, дифференциал функции численно равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции  в данной точке, когда аргумент  получает приращение .

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ

Пусть нам известно значение функции y₀=f(x₀) и ее производной y₀' = f '(x₀) в точке x₀. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.

Как мы уже выяснили приращение функции Δyможно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy?dyили Δy»f'(x₀)·Δx.

Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x₀), то f(x) – f(x₀)?f'(x₀)·Δx.

Откуда

f(x) ? f(x₀) + f'(x₀)·Δx

Примеры.

1. y = x² – 2x. Найти приближенно, с помощью дифференциала, изменение y (т.е. Δy), когда x изменяется от 3 до 3,01.

Имеем Δy?dy=f'(x)·Δx.

f'(x)=2x – 2 ,f'(3)=4, Δx=0,01.

Поэтому Δy ? 4·0,01 = 0,04.

1. Вычислить приближенно значение функции  в точке x = 17.

Пусть x₀= 16. Тогда Δx = x – x₀= 17 – 16 = 1, ,

.

Таким образом, .

1. Вычислить ln 0,99.

Будем рассматривать это значение как частное значение функции y=lnx при х=0,99.

Положим x₀ = 1. Тогда Δx = – 0,01, f(x₀)=0.

, f '(1)=1.Поэтому f(0,99) ? 0 – 0,01 = – 0,01.

13 вопрос: неопределенные интеграл, основные определения(первообразной. неопред.)  В дифференциальном исчислении основной операцией является нахождение производной заданной функции. Сущность здесь заключается в установлении скорости изменения этой функции по сравнению с аргументом. Весьма часто, однако, приходится решать обратную задачу, когда по заданной скорости течения какого-либо процесса требуется восстановить сам этот процесс. В этом случае с математической точки зрения вопрос проводится к отысканию функции по ее производной. Эта операция, называемаяинтегрированием, является основной во второй половине математического анализа - интегральном исчислении.

     Пусть функция f(x), заданная в некотором промежутке^* [a, b], во всех его точках является производной функции F(x) , также заданной в [a, b]. Тогда эта последняя функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) (в промежутке [a, b]).

     Имеет место

     Теорема 1. У всякой непрерывной на промежутке [a, b] функции имеется первообразная.

     Доказательство этой теоремы будет дано далее.

     Нетрудно видеть, что, если функция F(x) есть первообразная для f(x), то функция F(x) + C при любом постоянном C также является первообразной для f(x). В то же время никаких других первообразных, кроме функций вида F(x) + C, у f(x) уже быть не может. Действительно, если F₁(x) есть какая-то первообразная для f(x), то производная разности F₁(x) - F(x) будет всюду на [a, b] равняться нулю, а тогда сама разность есть величина постоянная, т. е.

F₁(x) - F(x) = C     и     F₁(x) = F(x) + C.

     Если F(x) есть первообразная функция для f(x), то функция двух аргументов x и C, равная F(x) + C, называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается символом

     Таким образом, неопределенный интеграл какой-нибудь функции представляет собой общий вид первообразных функций для этой функции. Величина C, входящая в определение неопределенного интеграла, называется "произвольной постоянной". Придавая ей то или иное закрепленное значение, можем получить из неопределенного интеграла любую первообразную.

     Легко понять, что из самого определения понятия интеграла вытекает следующее утверждение:

     Теорема 2. Производная неопределенного интеграла равна подинтегральной функции, т. е.

14 вопрос: свойство неопределенного интеграла, таблица неопределенных интегралов(9 обозначений) Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная интеграла равна подынтегральной функции (это свойство непосредственно вытекает из определения интеграла). Таким образом, имеем

d?f(x)dx=f(x)dx и [?f(x)dx]'=f(x).

II. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого.

?dF(x)=?F'(x)dx

Функция F(x), очевидно, является первообразной для F'(x). Поэтому имеем

?dF(x)=F(x)+C

III. Отличный от нуля постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е. если постоянная A?0, то

?dF(x)=?F'(x)dx

IV. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций

?[f(x)+g(x)-h(x)]dx=?f(x)dx+?g(x)dx-?h(x)dx

15 вопрос: Метод внесения под знак дифференциала, метод интегрирования по частям Пусть требуется вычислить  Предположим, что существуют дифференцируемые функции  и , такие, что тогда

Указанное преобразование подынтегрального выражения называют подведением под знак дифференциала.

Например..

Замечание. При интегрировании методом подведения под знак дифференциала бывают полезны следующие равенства:

1.;                                   2. ;

3. ;                                    4. ;

5. ;                         6. ;

7. ;                     8.;

9. ;                               10. ;

11. .

Пример 7.

 

При интегрировании использовали формулы и  положив 

Пример 8.

 При интегрировании использовали формулы , при 

Пример 9.

При интегрировании использовали формулы: и 

 

 

 

Пример 10.

При интегрировании использовали формулы:

Пример 11.

 При интегрировании использовали формулы:

. Метод интегрирования по частям.

Если  и –функции, имеющие непрерывные производные, то , тогда ; проинтегрировав это равенство и учитывая свойство 2 неопределенного интеграла, получим формулу интегрирования по частям:

Иногда эту формулу приходится применять последовательно несколько раз.

Отметим три типа интегралов, которые вычисляются методом интегрирования по частям.

 где –многочлен,  В этих интегралах полагают .

 

 где –многочлен. В этих интегралах за u принимают функцию, являющуюся множителем при .

 где m, n–числа. Эти интегралы вычисляются двукратным интегрированием по частям.

Пример 1

 

 

 

 

Пример 2.

Пример 3.

Таким образом, получили:  перенесем последнее слагаемое в левую часть: