21 Вопрос: определенный интеграл от четных и нечетных фун-ции по симметричному промежутку

Пусть функция ?(х) непрерывна на отрезке [-а; а], симметричном относительно точки х = 0. Докажем, что

?Разобьем отрезок интегрирования [-а; а] на части [-а; 0] и [0; а]. Тогда по свойству аддитивности

В первом интеграле сделаем подстановку х = -t. Тогда

(согласно свойству: «определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования»). Возвращаясь к равенству (39.4), получим

Если функция ?(х) четная (?(-х) = ?(х)), то ?(-х) + ?(х) = 2?(х); если функция ?(х) нечетная (?(-х) = - ?(х)), то ?(-х) + ?(х) = 0. Следовательно, равенство (39.5) принимает вид (39.3).?

Благодаря доказанной формуле можно, например, сразу, не производя вычислений, сказать, что

22 Вопрос: не собственный интеграл

Определенный интеграл   называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

• Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

• Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a,b].

Бесконечные пределы интегрирования

Пусть f (x) является непрерывной функцией в интервале [a, ?). Несобственный интеграл определяется через предел следующим образом:

Рассмотрим также случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (??, b]. В этом случае несобственный интеграл определяется как

Если указанные выше пределы существуют и конечны, то говорят что несобственные интегралы сходятся.  В противном случае интегралы расходятся.  Пусть f (x) является непрерывной функцией на множестве действительных чисел. Тогда справедливо соотношение

Если для некоторого действительного числа c оба интеграла в правой части сходятся, то говорят, что интеграл   также сходится; в противном случае он расходится. 

Теоремы сравнения

Пусть f (x) и g (x) является непрерывными функциями в интервале [a, ?). Предположим, что  для всех x в интервале [a, ?).

1. Если   сходится, то   также сходится;

2. Если   расходится, то   также расходится;

3. Если   сходится, то   также сходится. В этом случае говорят, что интеграл   является абсолютно сходящимся.

Интеграл от разрывной функции

Пусть функция f (x) непрерывна в интервале [a,b), но имеет разрыв в точке x = b. В этом случаенесобственный интеграл определяется в виде

Аналогично можно рассмотреть случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (a,b], но имеет разрыв при x = a. Тогда

Если приведенные выше пределы существуют и конечны, то говорят, что соответствующие несобственные интегралы сходятся. В противном случае они считаются расходящимися.  Пусть f (x) непрерывна для всех действительных x в интервале [a,b], за исключением некоторой точки  . Тогда справедливо соотношение

и говорят, что несобственный интеграл   сходится, если оба интеграла в правой части верхнего равенства сходятся. В противном случае несобственный интеграл расходится.