16 Вопрос: интегрирование тригонометрических функций 17 вопрос: интегрирование рациональных дробей

Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби

Если дробь неправильная (т.е. степень числителя P(x) больше степени знаменателя Q(x)), разделим многочлен P(x) на Q(x). Получим следующее выражение:

где   - правильная рациональная дробь. 

Шаг 2. Разложение знаменателя на простейшие дроби

Запишем многочлен знаменателя Q(x) в виде

где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней. 

Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Запишем рациональную функцию в следующем виде:

Общее число неопределенных коэффициентов A_i , B_i , K_i , L_i , M_i , N_i , ... должно быть равно степени знаменателя Q(x).  Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель Q(x) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x. В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов A_i , B_i , K_i , L_i , M_i , N_i , .... Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов. 

Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей.

Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул:

У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат:

где   Затем применяются следующие формулы:

Интеграл   может быть вычислен за k шагов с помощью формулы редукции

18 Вопрос: определенный интеграл, геометр. Смысл

19 Вопрос: интегрирование по частям, замена переменной в определенном интеграле

1Интегрирование по частям

Пусть надо вычислить интеграл вида

     

где   v(x)  имеет очевидную первообразную   V(x).

Тогда

?  U(x) · v(x) dx   =   ?  U(x) · V'(x) dx   =   ?  U(x)  dV(x) .Такого рода преобразование называется подведением под знак дифференциала, поскольку функция v(x) исчезает в интегрируемом выражении и появляется под знаком дифференциала в виде своей первообразной V(x).

Если функция U(x) выражается через функцию V(x) по некоторой формуле U(x) = w(V(x)), то

?  U(x)  dV(x)   =   ?  w(V(x)) dV(x)   =   ?  w(t) dt ,где t = V(x). Таким образом отыскание исходного интеграла сводится к отысканию интеграла

?  w(t) dt

В нем функция t = V(x) выступает как независимая переменная, т.е. произошла замена переменной.

Если функция U(x) не выражается через функцию V(x) по некоторой формуле U(x) = w(V(x)), то может оказаться полезным преобразование, называемоеинтегрированием по частям. Оно определяется следующей теоремой.

Теорема 1. Пусть функции U(x) и V(x) дифференцируемы на некотором интервале и на этом интервале существует интеграл   ? V(x)U '(x)  dx .

Тогда существует интеграл   ? U(x)V '(x)  dx и справедлива формула

? U(x)V '(x)  dx   =   U(x)V(x)   ?   ? U '(x)V(x)  dx.(1)Доказательство следует из формулы дифференцирования произведения. Оно приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 168.

Замечание 1. Очевидно, что в формуле интегрирования по частям оператор дифференцирования, обозначенный штрихом, перемещается с V на U. Этим обусловлена важная роль формулы при доказательстве самосопряженности линейных дифференциальных операторов.

Замечание 2. Формулу интегрирования по частям удобно применять также в виде

? U(x) · v(x) dx   =   U(x) · V(x) ? ? u(x) · V(x) dx,(2)где функция v(x) имеет очевидную первообразную V(x) , а   U(x) — дифференцируемая функция, причем ее производная   u(x) = U'(x)  является более простой функцией, чем она сама.

Замечание 3. Формулу интегрирования по частям (1) можно представить в виде в виде

? U(x) dV(x)   =   U(x)V(x)   ?   ? V(x) dU(x) .(3)Метод интегрирования по частям применяется в следующих случаях:

1. Подынтегральное выражение содержит в качестве множителя одну из функций ln x ,   arcsin x ,   arccos x ,   arctg x . Если применить формулу (2), полагая в ней U(x) равной одной из этих функций, то подынтегральное выражение Vxu(x) может оказаться проще исходного.

2. Подынтегральное выражение имеет вид:   Pn(x) eαx ,    Pn(x)sinαx или   P(x)cosαx ,  где Pn(x) — многочлен степени n .

Интегралы от таких функций вычисляются n –кратным применения формулы интегрирования по частям (1), причем в качестве U(x) каждый раз следует брать многочлен. После каждого интегрирования по частям степень многочлена понижается на единицу.

3. Подынтегральное выражение имеет вид

eαx · cosβx,  eαx · sinβx,  sin(lnx),  cos(lnx).После двукратного интегрирования по частям получается линейное алгебраическое уравнение относительно исходного интеграла.

4. После подведения под знак дифференциала получился интеграл   ? U(x) dV(x) ,   в котором функция U(x) не выражается через V(x), но функция V(x) выражается через U(x). Тогда можно применить формулу интегрирования по частям (3).

Замена переменной в определенном интеграле  

Материалы по теме: href="http://www.testent.ru/search/%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB/" rel="nofollow" class="eTag" style="font-size: 14px; font-family: Arial; color: rgb(230, 137, 25); text-decoration: none; border-bottom-color: rgb(0, 102, 204); border-bottom-width: 2px; border-bottom-style: dotted; "интеграл, функция, определенный интеграл, лекция по высшей математики, формула, высшая математика

При вычислении определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница предпочтительно жестко не разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подынтегральной функции, нахождение приращения первообразной). Такой подход, использующий, в частности, формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла, обычно позволяет упростить запись решения.

ТЕОРЕМА. Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α,β], а=φ(α), в=φ(β) и функция f(х) непрерывна в каждой точке х вида х=φ(t), где t [α,β].

Тогда справедливо следующее равенство:

Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

Подобно тому, как это было в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному (табличным). При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования α и β по новой переменной t как решение относительно переменной t уравнений φ(t)=а и φ(t)=в. На практике, выполняя замену переменной, часто начинают с того, что указывают выражение t=ψ(х) новой переменной через старую. В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной t упрощается: α=ψ(а), β=ψ(в). 20 вопрос: приложение определенного интеграла

Приведем без вывода основные формулы и примеры геометрических приложений определенного интеграла.

1.Вычисление площади в декартовых координатах.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой   (  непрерывна), прямыми x=a, x=b и осью Ox (рис.6) равна

 

(6)Площадь фигуры, ограниченной кривой   (  непрерывна), прямыми x=a, x=b и осью Ox (рис.7) равна

(7)Площадь фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми   и     и прямыми x=a и x=b   (рис.8) равна

 

(8) 

Площадь фигуры, ограниченной кривыми   и   (  и   неотрицательны и непрерывны), пересекающимися в точке с абсциссой x=b, прямыми x=a, x=c и осью Ox (Рис.9), равна

 

(9) 

В случае параметрического задания кривой   площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и осью Ox (рис.6) равна

(10)где   и   определяются из уравнений  на отрезке 

2.Вычисление площади в полярных координатах.

 

Площадь сектора OAB (рис. 12), ограниченного лучами   и   и кривой  , равна                    .

Пример. Найти площадь, ограниченную улиткой Паскаля   (рис.13).

Решение

.

 

 

3.Вычисление длины дуги.

Если кривая задана параметрическими уравнениями  ,

 

, то длина ее дуги  , где  –значения параметра, соответствующие концам дуги  .

Если кривая задана уравнением  , то  , где a, b–абсциссы начала и конца дуги  .

Если кривая задана уравнением  , то  , где c, d–ординаты начала и конца дуги  .

Если кривая задана уравнением в полярных координатах  , то  , где  –значения полярного угла, соответствующие концам дуги  .

4.Вычисление объема тела вращения.

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой  , отрезком оси абсцисс   и прямыми   (рис.6), вычисляется по формуле  .

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной кривой  , отрезком оси ординат   и прямыми  , вычисляется по формуле  .