4.4. Распределение Вейбулла

Впервые это распределение было использовано шведом Вейбуллом в 1939г. Функция плотности и интегральный закон этого распределения могут быть представлены в виде:

, , t    0 ,

где  - параметр сдвига (минимальное значение случайной величины);  - параметр формы (угловой коэффициент распределения); ( - ) - параметр масштаба (ресурсная характеристика). Все параметры всегда положительны.

Часто можно встретить более компактную двухпараметрическую форму записи законов вероятностного распределения Вейбулла

, ,

где  =  -  ; x = t - .

Математическое ожидание и стандартное отклонение случайной величины, распределенной по закону Вейбулла, определяются следующими выражениями

_x = (1 + 1/),

S_x²= (1 + 2/) - ²(1 + 1/),

где Г (a) - гамма функция Эйлера .

Вероятность безотказной работы и интенсивность отказов:

, .

Примечание. Если положить  = 0 , а  =1 , то распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное с интенсивностью отказов  = 1/ . При  =2 - распределение известно под именем Релея. При  =3,5 - форма кривой плотности распределения приблизительно симметрична и напоминает кривую Гаусса.

Различные формы кривых f(t) , R(t) и (t) для закона распределения Вейбулла представлены на рис. 4.4.

Рис. 4.4. Типичные графики кривых для закона Вейбулла

Пример 4.3. Наработка элемента до отказа имеет распределение Вейбулла с параметрами  =4,  = 2000 часов, =1000 часов. Найти вероятность безотказной работы и интенсивность отказов при наработке 1400 часов.

Решение. Используя соответствующие формулы получим:

R(1200)= exp{-[(1400 - 1000)/(2000 - 1000)]⁴}= exp(- 0,0256) = 0,975

(1200)=4^.(1400 - 1000)^4-1/(2000 - 1000)⁴= 0,256^.10^-3 отказа/час.

Распределение Вейбулла используется для описания времени безотказной работы элементов, времени работы до предельного состояния машин и для описания характеристик усталостной прочности металла.

4.5. Гамма-распределение

Плотность гамма-распределения имеет вид

, t  0, > 0,  > 0,

где - параметр формы,  - параметр масштаба.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины при этом определяются выражениями

_t = / ; S_t² = /² .

Гамма-распределение служит для описания отказов вследствие износа и накопления повреждений.

Если - целое положительное число, тогда Г(+1)= ! и распределение называют распределением Эрланга. Интегральная функция такого распределения, а также вероятность безотказной работы и интенсивность отказов могут быть определены по следующим формулам:

;

;

(t) = f(t)/R(t).

Распределение описывает время для появления ровно  отказов при условии, что они независимы и появляются с одинаковой интенсивностью  .

Графики плотности гамма-распределения и вероятности безотказной работы по внешнему виду часто напоминают распределение Вейбулла. На рис.4.5 показан вид графиков интенсивности при  =1.

Если наработка до отказа t_i каждого из n рассматриваемых элементов подчиняется экспоненциальному закону с интенсивностью , то случайная величина x = t₁+t₂+...+t_n имеет гамма-распределение с параметрами  и n и описывает наработку системы до n-го отказа.

(t)

=0,5

=1

=1,5 =4

0 t

Рис.4.5. Графики интенсивности отказов для гамма-распределения

при различных значениях параметра  и при  =1

При =1 гамма-распределение совпадает с экспоненциальным, а при > 10 оно приближается к нормальному.

Пример 4.4. Наработка некоторого объекта до отказа имеет гамма-распределение с параметрами = 3 и  =0,01. Требуется определить вероятность безотказной работы при наработке 110 единиц.

Решение.

R(110)= (0,01^. 110)^k exp(- 0,01^. 110)/k! = 0,9.