- •Билет №1.
- •1. Периодические процессы. Гармонические колебания. Дифференциальное уравнение гармонического осциллятора и его решение.
- •2. Распространение света
- •Принцип Гюйгенса
- •Физический маятник
- •Математический маятник.
- •Электромагнитная волна на границе раздела сред.
- •Коэффициенты отражения и пропускания.Геометрическая оптика.
- •Когерентность. Длина и ширина когерентности.
- •Интерференция света. Условия максимума и минимума. Оптическая разность хода.
Когерентность. Длина и ширина когерентности.
Когерентностью называется согласованное протекание нескольких колебательных или волновых процессов. Строго когерентными могут быть только монохроматические волны, то есть волны с постоянной амплитудой, частотой и направлением распространения, то есть гармонические волны, описываемые уравнением: . Поэтому разность фаз двух монохроматических волн одинаковой частоты в каждой точке остается постоянной. Пусть в некоторой точке пространства колебания возбуждаются сложением двух монохроматических волн одинаковой частоты и одинакового направления колебания:
, .Тогда амплитуда результирующего колебания в данной точке может быть рассчитана как: , где = 2 – 1 – разность фаз между двумя колебаниями. В случае когерентных волн разность фаз имеет постоянное во времени значение (но свое для каждой точки). В соответствии с этим амплитуда результирующего колебания изменяется в пространстве вместе с изменением разности фаз. Поскольку интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, то амплитуда также меняется в зависимости от разницы фаз колебаний: . Последнее слагаемое суммы носит название интерференционного члена. В тех точках пространства, где cos > 0, там I > I1 + I2; там же, где cos < 0, там I < I1 + I2. Таким образом, при наложении когерентных световых волн происходит перераспределение светового потока в пространстве, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других – минимумы. Это явление называется интерференцией волн. Особенно контрастно проявляется интерференция, когда интенсивность одинакова: I1 = I2. Тогда интенсивность в различных точках можно рассчитать как:
.В этом случае интенсивность изменяется от значения I = 4I1 в максимумах до I = 0 в минимумах.
Для некогерентных волн интенсивность всюду одинакова и равна I = I1 + I2.
Билет№5
Сложение колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях.
Рассмотрим тело, колеблющееся на плоскости с одинаковыми частотами во взаимно перпендикулярных направлениях. Примером может служить горизонтальное движение без трения груза, закрепленного на четырех одинаковых пружинах.Система отсчета выбрана так, что ее начало совпадает с положением тела в состоянии равновесия. Для того, чтобы заставить тело колебаться, оттянем его на какое-то расстояние A от положения равновесия и отпустим. Тогда тело будет совершать колебания с амплитудой A относительно положения равновесия. При этом координаты и колеблющегося тела будут изменяться по закону: , , где Ax – проекция амплитуды но ось X (рис. 3.7);
Ay – проекция амплитуды на ось Y; – циклическая частота совершаемых колебаний; – начальная фаза колебаний по оси X; – начальная фаза колебаний по оси Y.Получим уравнение, описывающее поведение колеблющейся частицы. С учетом того, что разность фаз складываемых колебаний , выражение можно представить в виде:
, .Выясним, какой вид имеет зависимость между координатами x и y при таких колебаниях. Выразим и через отношение амплитуд и координат.
Из получаем:
Представим в эквивалентном виде:
Выражение для получим из :
Подставим в уравнения :
.Перенося слагаемые из правой части в левую, получим:
.Возведем в квадрат:
Преобразуем полученное выражение: Окончательно получаем уравнение движения частицы:
Очевидно, что в рассматриваемом случае траекторией частицы в общем случае будет являться эллипс, общий вид которого определяется разностью фаз и отношением амплитуд и .Рассмотрим некоторые частные случаи.
1. . В этом случае , . Уравнение колебания принимает вид:
,частица движется по прямой в первом и третьем квадрантах . При этом смещение относительно положения равновесия изменяется по закону:
,где A – амплитуда колебаний относительно положения равновесия:
.
2. . При такой разности фаз , . С учетом знака уравнение колебания тоже описывает прямую: , но частица движется по прямой уже во втором и четвертом квадрантах.
3. . В этом случае уравнение колебания принимает вид:
,частица движется по эллипсу, полуоси которого и совпадают с осями координат. При = эллипс превращается в окружность радиуса R= = . Движение частицы по траектории будет происходить в направлении часовой стрелки . Направление движения можно определить в процессе построения графика функции – при увеличении времени t точки, по которым строится график функции будут перемещаться в том направлении, в котором движется колеблющаяся точка.
4. . То же самое, что и , так как изменение фазы на несущественно. Движение будет происходить по эллипсу, как и в случае 3, с той только разницей, что движение будет осуществляться против часовой стрелки.На практике добиться полного совпадения частот колебаний непросто, частоты всегда имеют небольшую разность (кроме электромагнитных колебаний, когда частота задается одним генератором, а потом колебания подаются на разные входы осциллографа).При относительно малом несовпадении частот, когда , возникает медленно меняющаяся дополнительная разность фаз между двумя колебаниями. При наблюдении сложения таких колебаний (при отношении частот ~1:1) на экране осциллографа видно, что фигура медленно вращается, последовательно проходя все фазы, показанные на рис.Рассмотрим полную энергию суммарного колебания, складывается из энергий каждого колебания:
,где Ex – энергия колебаний по оси X;
Ey – энергия колебаний по оси Y.В свою очередь, каждая из этих энергий состоит потенциальной и кинетической энергии:
Согласно энергия колебаний по осям X иY может быть представлена как
, ,где Ax – амплитуда колебаний по оси X;Ay – амплитуда колебаний по оси Y;ωx – частота колебаний по оси X;ωy – частота колебаний по оси Y, причем частоты могут не совпадать.Тогда полная энергия суммарного колебания: пропорциональна квадрату общей амплитуды, которая равна. .