6. Изучение … (коммутативного или ассоциативного) свойства …. (сложения или умножения) по учебникам разных авторов. Примеры индуктивных умозаключений учащихся в процессе его изучения.

Переместительные законы также называются также коммутативными. Их смысл в том, что результат не меняется при перестановке слагаемых или сомножителей.

Коммутативный (переместительный) закон сложения : a + b = b + a . Сумма не меняется от перестановки её слагаемых.

Коммутативный (переместительный) закон умножения : a · b = b · a . Произведение не меняется от перестановки его сомножителей.

Сочетательные законы также называют ассоциативными. Их смысл в том, что результат не меняется при группировке слагаемых или сомножителей.

Ассоциативный (сочетательный) закон сложения : ( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c . Сумма не зависит от группировки её слагаемых.

Ассоциативный (сочетательный) закон умножения : ( a · b ) · c = a · ( b · c ) = a · b · c . Произведение не зависит от группировки его сомножителей.

Индукция - процесс логического вывода на основе перехода от частного положения к общему. Индуктивное умозаключение связывает частные предпосылки с заключением не строго через законы логики, а через математические представления.

Схема полной индукции:

Множество А состоит из элементов: А1, А2, А3.

А1 имеет признак В

А2 имеет признак В

А3 имеет признак В

Следовательно, все элементы множества А имеют признак В.

Неполная индукция

Неполная индукция не является доказательной с точки зрения формальной логики, может привести к ошибочным заключениям. Вместе с тем, неполная индукция является основным способом получения новых знаний. Доказательная сила неполной индукцией ограничена, заключение носит вероятностный характер, требует приведения дополнительного доказательства.

Схема неполной индукции:

А1 имеет признак В

А2 имеет признак В

А3 имеет признак В

А1, А2, А3,… ,Аn принадлежат множеству А.

Следовательно, вероятно, А4 и остальные элементы множества А имеют признак В.

7. Изучение дистрибутивного свойства умножения относительно сложения по учебникам разных авторов. Примеры заданий, побуждающих учащихся к … (теоретическому или эмпирическому) обобщению в процессе изучения этого свойства.

Распределительные законы также называют дистрибутивными. Их смысл для операции произведения заключается в том, что операцию произведения можно выполнить по частям – для каждого слагаемого, входящего во второй сомножитель.

Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения : c · ( a + b ) = c · a + c · b .

Обобщение – мысленное объединение отдельных предметов в некотором понятии.

Обобщение обеспечивает мышлению учащихся определённость и последовательность. Обобщение в обучении выступает в двух видах - эмпирическом и теоретическом. Эмпирическое обобщение осуществляется путём сравнения группы предметов (или представлений о них) и выявления их одинакового, повторяющегося или общего свойства. Эмпирическое обобщение служит основой формирования как житейских представлений, так и эмпирических понятий в науке, и характерно для начальных стадий познания.

Теоретическое обобщение используется при такой организации обучения, в которой учащиеся усваивают знания в процессе решения задач. Преобразовывая её условия, они находят общий принцип перехода ко многим другим однородным задачам.