11. Математическое ожидание числа появлений событий в независимых испытаниях.

Теорема. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.

Доказательство. Случайная величина распределена по биномиальному закону:

       ( ),

где .

Величину можно рассматривать, как сумму независимых случайных величин , где ( ) – число появлений события в м испытании. Случайная величина принимает лишь два значения: 1, если событие появилось в м испытании, и 0, если в м испытании события не произошло.

Вероятности этих событий и , а математическое ожидание: ( ).

Следовательно, используя теорему о математическом ожидании суммы, получим:

.

Таким образом, математическое ожидание числа появлений события в условиях схемы Бернулли совпадает со средним числом появлений события в данной серии испытаний.

11. Дисперсия дискретной случайной величины.

 Дисперсией дискретной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D ( X ) = M ( X - M ( X )) ². Для вычислений удобнее пользоваться формулой : D ( X ) = M ( X ² ) - ( M ( X )) ².      Дисперсия обладает следующими свойствами.        1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю : D ( C ) = 0.        2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат : D ( CX ) = C ²D ( X ).        3. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:            D ( X+Y+Z ) = D ( X )+D ( Y )+D ( Z ).        4. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной - равна дисперсии случайной величины: D ( C+X ) = D ( X ).      Дисперсию обозначают также как s ² с нижним индексом, обозначающим соответствующую случайную величину или без него.

11. Отклонение случайной величины от её математического ожидания.

11. Дисперсия дискретной случайной величины. Свойства.

Смотреть вопрос №26.

11. Формула для вычисления дисперсии.

Используя определение дисперсии, для дискретной случайной величины формулу вычисления дисперсии можно представить в таком виде:

 Можно вывести ещё одну формулу для вычисления дисперсии:

Таким образом, дисперсия случайной величины равна разности мате­матического ожидания квадрата случайной величины и квадрата её математи­ческого ожидания.

11. Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины. Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин.

Определение: Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно значение из возможного множества своих значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.

Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.

Определение: Случайная величина Х называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.

Другими словами, возможные значения дискретной случайной величину можно перенумеровать.

Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения.

Определение: Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений, т.е.

x	x1	x2	х3	…	хn
p	р1	р2	р3	...	рn

где р₁+ р₂+…+ р_n=1

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд р₁+ р₂+…+ р_n+… сходится и его сумма равна 1.

Закон распределения дискретной случайной величины Х можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят ломаную, соединяющую последовательно точки с координатами (x_i;p_i), i=1,2,…n. Полученную линию называют многоугольником распределения (рис.1).

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть также задан аналитически (в виде формулы):

P(X=x_i)=φ(x_i),i =1,2,3…n

11. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины.

Рассмотрим n взаимно независимых случайных величин X₁,Х₂,...,Х_n, которые имеют одинаковые распределения, а следовательно, и одинаковые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и др.).

1. Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию (а) каждой из ветчин:

2. Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в n раз меньше дисперсии D каждой из величин:

3. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в √n раз меньше среднего квадратического отклонения а каждой из величин:

11. Понятие о моментах распределения.