2. Общие правила комбинаторики.

Все разнообразие комбинаторных формул может быть выведено из двух основных утверждений, касающихся конечных множеств – правило суммы и правило произведения.

Правило суммы: пусть имеется n попарно непересекающихся множеств A₁, A₂, …, A_n , содержащих m₁, m₂, …, m_n элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать один элемент из всех этих множеств, равно m₁ + m₂ + … + m_n.

Пример. Если на первой полке стоит X книг, а на второй Y, то выбрать книгу с первой или второй полки, можно X+Y способами.

Кортеж - конечная последовательность (допускающая повторения) элементов какого-нибудь множества.

Правило произведения: пусть имеется n множеств A₁, A₂, …, A_n содержащих m₁, m₂, …, m_n элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждого множества, т. е. построить кортеж (а₁, а₂, ..., а_n), где а_i  А _i1 (i = 1, 2, …, n), равно m₁ · m₂ · … · m_n.

Пример. Если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5*10=50 способами.

3. Классификация случайных событий.

Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например если брошена монет она может упасть вверх гербом или вверх надписью. Поэтому событие ?при бросании монеты выпал герб? - случайное. Каждое случайное событие , в частности выпадение герба, есть следствие действия многих случайных причин (сила с которой брошена монета, форма монеты, вес и т.д.). Не возможно учесть влияние этих причин на результат, по сколку их число очень велико, по этому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать. Произойдет единичное событие или нет. В дальнейшем, вместо того чтобы говорить ?совокупность условий S осуществлена?, будем говорить кратко ?произведено испытание?. Таким образом, события будет рассматривается как результат испытания. Полной группой событий называются несколько событий таких что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них. События называют несовместными, если появление одного из них исключает появления других событий в одном и том же испытании. События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

4. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.

Вероятность – одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют классическим.

Пусть в урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них красные, 3-синие и 1-белый. Очевидно, возможность вынуть наудачу из урны цветной (т.е. красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Можно ли охарактеризовать эту возможность числом? Оказывается, можно. Это число и называют вероятностью события (появление цветного шара). Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (классическое определение вероятности). Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Итак, вероятность события А определяется формулой:

(1)

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А; n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Пример 1 Найти вероятность события А={появление не менее пяти очков при одном бросании игральной кости}.

Используем формулу (1). В нашем случае число возможных исходов n=6, а число, благоприятствующих этому событию исходов, m=2. То есть P(A)=2/6=1/3. Итак, вероятность появления не менее пяти очков при одном бросании игральной кости равна 0.33 или 1/3