Построение эпюр поперечных сил и моментов изгибающих для различных видов нагружения статически определимых балок.

Построение эпюр Q и М с распределенной силой и парой сил.

1. Если балка загружена равномерно распределенной нагрузкой эпюрой Q – наклонная линия.

2. Если на балку действует равномерно распределенная нагрузка эпюра М – парабола.

Q = q l/2 – qz; z = 0; z=l; Q = -ql/2

Mz = ql/2 * z –qz * z/2

Z=0; M=0;

Z=l; Z= l/2; M = ql²/8

3. Если в виде сосредоточенной пары сил (момента) – не влияет на очертание эпюры Q, т.к. проекция пары сил равна нулю.

В сечении, где действует пара сил эпюра М испытывает скачок на величину момента пары.

Построение эпюр Q b M для балок с жесткой заделкой или защемлением.

В данном типе задач все построения и вычисления начинают со свободного конца балки.

Опорные реакции, в данном типе задач определять необходимо, они получаются в результате построения эпюр.

Нормальные напряжения при чистом изгибе в произвольной точке поперечного сечения бруса. Жесткость сечения. Эпюра нормальных напряжений. Понятие о моменте сопротивления сечения.

В результате оказывается, что волокна, которые лежат по середине балки, называются нейтральным слоем. Волокна на выпуклой стороне балки – растягиваются, на вогнутой – сжимаются, т.е. в поперечном сечении возникают нормальные напряжения . Относительное удлинение волокон прямо пропорционально расстоянию от него до нейтральной оси:

1) Еу = у/Р ,где Р – радиус кривизны оси балки. Т.к. волокна растягиваются или сжимаются, можно воспользоваться законом Гука:

у = Е Еу

Подставляем:

у = Е у/Р – закон Гука при изгибе, т.е. нормальные напряжения изменятся прямо пропорционально расстоянию от нейтральной оси балки.

Нейтральная ось проходит через центр тяжести поперечного сечения:

1/Р= Мх/ЕIх Iх – жесткость сечения балки.

Кривизна изогнутой оси прямо пропорциональна изгибающему моменту и обратно пропорциональна жесткости сечения балки.

 = Мх у/Iх – определение  в любой точке сечения, является уравнением прямой. Следовательно,  по высоте сечения изменяется по закону прямой.

Вывод:

max = M max/Ix/y max = M max/Wx

Wx = Ix/y max см⁴/см (см³,м³)

Wx – осевой момент сопрот. сечения.

Wy = Iy/Xmax

Wy – осевой момент является геометрической характеристикой поперечного сечения балки, определяющей ей прочности при изгибе.

max = M max/Wx  adm

Для прямоугольника:

Wx = bh²/b

Wy = hb²/b

Wx = Wy = q³/b

Wx = Wy = d³/32  0.1d³

Wx = d³/32 (1-c⁴)

Если сечение балки не симметрично относительно нейтральной оси.

₁₁ = Мх/Ix h1

₂₂ = Mx/Ix h2

W1 = bh²/b; W2 = 2 * b/2 * h²/ 6 = bh² / 6

W3 = 2b(h/2)/6 = bh² / 12, т.е. цельная балка в 2 раза прочнее, чем составленная із 2 –ух брусьев по высоте (h).

Расчет балок на прочность при изгибе по первой группе предельных состояний. Три типа задач.

В зависимости от поставленной цели расчет на прочность может быть представлен тремя видами решаемых задач.

1) Проверка напряжений в балке при известных размерах поперечных сечений и заданных прочностных характеристик материала.

2) Подбор сечения, т.е. определение необходимых размеров поперечных сечений при заданной его форме и прочностных характеристиках материала (проектный расчет ).

3) Определение предельной нагрузки при заданных размерах поперечных сечений и прочностных характеристиках материала.

Расчеты балок производят по наибольшим нормальным, касательным и эквивалентным напряжениям.

Расчет на прочность по наибольшим нормальным напряжениям.

Балки из пластичного материала, как правило, изготавливают симметрично поперечного сечения, для того чтобы растягивающие и сжимающие напряжения в крайних волокнах были одинаковыми.

Опасным сечением балки будет то сечение, в котором возникает наибольший изгибающий момент М x max, а опасными точками этого сечения будут наибольшие удаленные, находящиеся на расстоянии у max от нейтральной оси. Условие прочности в опасном сечении без учета знака изгибающего момента записывается так:

Qz max = |Mxmax| y max /j x  Ry.

Момент сопротивления для прямоугольного сечения высотой h и шириной b

Wx = jx/ymax = (bh³/12)/(n/2) = bh²/6

Момент сопротивления Wx для круглого сечения радиусом r

Wx = jx/r = r⁴/4r = r³/ 4

Момент сопротивления W_x^k для кольцевого сечения с наружным радиусом r

W_x^k = j_x^k/ r = (r4 – r₁⁴)/ 4r.