11. Представление геометрических моделей. Полигональные сетки и способы …

Наиболее распространённые представления графических объектов:

1. Пространственное подразбиение.

Если в трёхмерном пространстве есть тело, то это пространство можно разбить на кубики (воксели). Для каждого кубика b(i, j, k) можно указать, пересекается ли он с телом, то есть лежит ли он внутри, на границе – 1 или вне тела – 0. В некоторых случаях удобно применять некоторые промежуточные значения, задавая тем самым плотность в данной точке пространства.

Характеристики воксельного представления:

• Только приближение реального объекта. Поверхности, не параллельные осям координат, представляются приблизительно. Качество приближения зависит от относительного размера вокселей.

• Требует больших размеров памяти для хранения, и эти требования резко возрастают при увеличении разрешения (растет как куб от разрешения).

• С таким представлением хорошо работают в основном пространственные алгоритмы, такие как вычисление объема объекта, нахождение центра масс и т.д.

• Можно проводить набор операций: пересечение, объединение, вычитание.

2. Граничное (поверхностное). Тела задаются ограниченными фрагментами поверхностей.

3. Конструктивное.

При конструктивном представлении вводятся примитивы тел. Конструируя эти объекты и применяя теоретико-множественные операции, можно получить более сложное тело.

Под операциями понимаются булевы операции над примитивами, а так же геометрические преобразования, такие как передвижение, поворот, изменение размеров.

Полигональная сетка представляет собой совокупность ребер, вершин и многоугольников.

Виды представлений полигональных сеток:

1. Явное представление – многоугольник задается последовательностью вершин {x₁,y₁,z₁},{x₂,y₂,z₂},…,{x_n,y_n,z_n}

2. Список вершин – перечисление всех вершин, встречающихся в многоугольниках: {x₁,y₁,z₁},…,{x_n,y_n,z_n}. При представлении многоугольника указываем лишь индексы вершин.

3. Определение многоугольника списком ребер. В такой модели грань представляется набором ребер и вершины грани определяются через ребра.

4. Крылатое представление: структура основывается на списке ребер, и для каждого ребра возникают две соседние грани. Каждое ребро ссылается на соседние грани, на ближайшие соседние ребра и опирается на две вершины. В результате ссылки для каждого ребра образуют кольцевые списки.

Полигон удобно представлять в виде списка (кольца) вершин, хранящегося в кольцевом списке с двойными связями. Необходимы функции для добавления, удаления, редактирования, поиска вершин.

Часто применяются следующие способы представления полигонов:

указатель на список вершин;

количество вершин;

указатель на текущую вершину;

функции для работы с вершинами;

функция расщепления полигона (деление полигона на два меньших по некоторой хорде);

проверка принадлежности точки полигону;

поиск наименьшей вершины (если определена некоторая функция упорядочивания).

12. Аффинные преобразования, их свойства, однородные координаты.

Для решения таких задач, как движение объектов и их частей, управления камерой применяются аффинные преобразования (АП), рассмотрим их основные свойства:

1) точки, лежащие на одной прямой, после преобразования лежат на одной прямой;

2) пересекающиеся прямые остаются пересекающимися, а параллельные – параллельными;

3) при АП пространства пересекающиеся плоскости остаются пересекающимися, параллельные – параллельными, а скрещивающиеся – скрещивающимися;

4) при АП сохраняются отношения площадей двух квадратов на плоскости и отношение объемов двух кубов в пространстве.

Пусть М - произвольная точка плоскости с координатами х и у, вычисленными относительно заданной прямолинейной координатной системы. Однородными координатами этой точки называется любая тройка одновременно неравных нулю чисел x₁, x₂, x₃, связанных с заданными числами x и y следующими соотношениями:

x

Однородные координаты

₁/x₃=x, x₂/x₃=y.

При решении задач компьютерной графики однородные коорди­наты обычно вводятся так: произвольной точке М(х, у) плоскости ста­вится в соответствие точка М*(х,у,1) в пространстве. Произвольная точка на прямой, соединяющей начало координат, точку 0(0, 0, 0) с точкой М*(х, у, 1), может быть задана тройкой чисел вида (hx, hy, h).

Будем считать, что h0. Вектор с координатами hx, hy, h является направляющим векто­ром прямой, соединяющей точки 0(0, 0, 0) и М*(х, у, 1). Эта прямая пересекает плоскость z = 1 в точке (х, у, 1), которая однозначно определяет точку (х, у) коорди­натной плоскости ху.

При помощи троек однородных координат и матриц третьего порядка можно описать любое аффинное преобразование плоскости. В самом деле, считая h = 1, сравним две записи: помеченную символом * и матричную:

Нетрудно заметить, что после перемножения выражений, стоя­щих в правой части последнего соотношения, мы получим обе форму­лы (*) и верное числовое равенство 1 == 1. Тем самым сравниваемые записи можно считать равносильными.

Выпишем соответствующие матрицы третьего порядка для базовых аффинных преобразований:

1. Матрица вращения (rotation) ;	2. Матрица растяжения (сжатия) (dilatation) ;
3. Матрица переноса (translation) ;	4. Матрица отражения (reflection)