Задача отсечения Вопрос 24

Если изображение выходит за пределы экрана, то на части дисплеев увеличивается время построения за счет того, что изображение строится в "уме". В некоторых дисплеях это приводит к искажению изображения. Поэтому требуется выполнения отсечения сцены по границам окна видимости.

Двумерный алгоритм Лианга-Барски

В 1982 г. Лианг и Барски предложили алгоритмы отсечения прямоугольным окном с использованием параметрического представления для двух, трех и четырехмерного отсечения.

Продолжим каждую из четырех границ окна до бесконечных прямых. Каждая из таких прямых делит плоскость на 2 области. Назовем "видимой частью" ту, в которой находится окно отсечения.Пусть конечные точки отрезка есть V₀ и V₁ с координатами (x0,y0) и (x1,y1), соответственно. Тогда параметрическое представление линии может быть задано следующим образом:

Или в общем виде для отрезка, заданного точками V₀ и V₁: V(t)    =   V₀   +  (V₁   -  V₀)   ·  t

Для точек V₀ и V₁ параметр t равен 0 и 1, соответственно. Меняя t от 0 до 1 перемещаемся по отрезку V₀V₁ от точки V₀ к точке V₁. Изменяя t в интервале от -∞ до +∞, получаем бесконечную (далее удлиненную) прямую, ориентация которой - от точки V₀ к точке V₁.

Подставляя параметрическое представление, заданное уравнениями, в неравенства, получим следующие соотношения для частей удлиненной линии, которая находится в окне отсечения:

-dx·t ≤ x0   -  Xлев и dx·t ≤ Xправ   -  x0,

-dy·t ≤ y0   -  Yниз и dy·t ≤ Yверх   -  y0.

Заметим, что в этих соотношениях - неравенства, описывающие внутреннюю часть окна отсечения, в то время как равенства определяют его границы. Рассматривая неравенства, они имеют одинаковую форму вида: P_i·t    ≤   Q_i       для   i   = 1,2,3,4.

Тогда каждое неравенство задает диапазон значений параметра t, для которых эта удлиненная линия находится на видимой стороне соответствующей линии границы. Более того, конкретное значение параметра t для точки пересечения есть t = Q_i/P_i. Причем знак Q_i показывает на какой стороне соответствующей линии границы находится точка V₀. А именно, если Qi ≥ 0, тогда V₀ находится на видимой стороне линии границы, включая и ее. Если же Q_i    <   0, тогда V₀ находится на невидимой стороне. Ясно, что любое P_i может быть меньше 0, больше 0 и равно 0.

Задача отсечения Вопрос 25

Если изображение выходит за пределы экрана, то на части дисплеев увеличивается время построения за счет того, что изображение строится в "уме". В некоторых дисплеях это приводит к искажению изображения. Поэтому требуется выполнения отсечения сцены по границам окна видимости.

Двумерный алгоритм Кируса-Бека

во многих случаях требуется отсечение по произвольному многоугольнику, например, в алгоритмах удаления невидимых частей сцены. В этом случае наиболее удобно использование параметрического представления линий, не зависящего от выбора системы координат.

Так как многоугольник предполагается выпуклым, то может быть только две точки пересечения отрезка с окном. Пусть N_i - внутренняя нормаль, а P = V₁ - V₀ - вектор, определяющий ориентацию отсекаемого отрезка, тогда ориентация отрезка относительно i-й стороны окна определяется знаком скалярного произведения P_i =   N_i ·V, равного произведению длин векторов на косинус наименьшего угла, требуемого для поворота вектора N_i до совпадения по направлению с вектором V: P_i = N_i ·P   =  N_i ·(V₁   -  V₀). (2)

1. При P_i < 0 отсекаемый отрезок направлен с внутренней на внешнюю стороны

2. При P_i = 0 точки V₀ и V₁ либо совпадают, либо отсекаемый отрезок параллелен i-й

3. При P_i > 0 отсекаемый отрезок направлен с внешней на внутреннюю сторону

a) Изнутри наружу

б) Параллельно границе

в) Снаружи внутрь

Рассмотрим теперь скалярное произведение внутренней нормали N_i к i-й границе на вектор Q(t) = V(t) - F_i, начинающийся в начальной точке ребра окна и заканчивающийся в некоторой точке V(t) удлиненной линии. Q_i    =   N_i ·Q    =   N_i ·[V(t)   -  F_i]       

При  Qi < 0	точка  V(t)  лежит  с   внешней  стороны  границы	(5)
При  Qi = 0	точка  V(t)  лежит  на  самой   границе
При  Qi > 0	точка  V(t)  лежит  с   внутренней  стороны  границы

a) Точка V вне

б) Точка V на границе

в) Точка V внутри

Это уравнение и используется для вычисления значений параметров, соответствующих начальной и конечной точкам видимой части отрезка.

Как следует из (2), P_i равно нулю если отрезок либо вырожден в точку, либо параллелен границе. В этом случае следует проанализировать знак Q_i и принять или не принять решение об отбрасывании отрезка целиком в соответствии с условиями (2).

Если же P_i не равно 0, то уравнение (9) используется для вычисления значений параметров t, соответствующих точкам пересечений удлиненной линии с линиями границ.