Формальное описание

Входные данные: a — целое число, b — натуральное, нечётное, больше единицы.

Выходные данные:   — символ Якоби

1 (проверка взаимной простоты). Если НОД (a, b)≠1, выход из алгоритма с ответом 0.

2 (инициализация). r:=1

3 (переход к положительным числам).

Если a<0 то

a:=-a

Если b mod 4 = 3 то r:=-r

Конец если

4 (избавление от чётности). t:=0

Цикл ПОКА a – чётное

t:=t+1

a:=a/2

Конец цикла

Если t – нечётное, то

Если b mod 8 = 3 или 5, то r:=-r.

Конец если

5 (квадратичный закон взаимности). Если a mod 4 = b mod 4 = 3, то r:=-r.

c:=a; a:=b mod c; b:=c.

6 (выход из алгоритма?). Если a≠0, то идти на шаг 4, иначе выйти из алгоритма с ответом r.

Комментарии к алгоритму.

В алгоритме везде берётся наименьший положительный вычет (то есть остаток от деления).

На четвёртом шаге используется мультипликативность символа Якоби, а затем вычисляется символ Якоби  . Чтобы избежать лишнего возведения в степень, проверяется только остаток от деления b на 8.

На пятом шаге тоже вместо возведения в степень используется проверка остатков от деления.

Сложность алгоритма равна   битовых операций.

Вопрос 4.

Функция f: {0, 1}^* → {0, 1}^* является односторонней функцией, если она эффективно вычисляется за полиномиальное время на детерминированной машине Тьюринга, но не существует полиномиальной вероятностной машины Тьюринга, которая обращает эту функцию с более чем экспоненциально малой вероятностью.

Существование.

Существование односторонних функций не доказано. Если f является односторонней функцией, то нахождение обратной функции является трудновычислимой (по определению), но легкопроверяемой задачей (путем вычисления f на ней). Таким образом, из существования односторонней функции следует, что P ≠ NP. Однако, не известно, влечет ли за собой P ≠ NP существование односторонних функций.

Существование односторонних функций является необходимым условием для стойкости многих типов криптографических схем. На настоящий момент доказано, что существование односторонних функций является необходимым и достаточным условием для существования стойких криптосистем с секретным ключом, а также стойких криптографических протоколов нескольких типов, включая протоколы электронной подписи.

Формальное определение…

Пусть - множество всех двоичных строк длины . Под функцией мы понимаем семейство , где , . Для простоты изложения мы предполагаем, что пробегает весь натуральный ряд и что каждая из функций всюду определена.

Функция называется честной, если существует полином такой, что для всех .

Определение 1. Честная функция называется односторонней, если

1. Существует полиномиальный алгоритм, который для всякого вычисляет .

2. Для любой полиномиальной вероятностной машины Тьюринга выполнено следующее. Пусть строка выбрана наудачу из множества (обозначается ). Тогда для любого полинома и всех достаточно больших

Вероятность здесь определяется случайным выбором строки и случайными величинами, которые использует в своей работе.

Условие 2 качественно означает следующее. Любая полиномиальная вероятностная машина Тьюринга может по данному найти из уравнения лишь с пренебрежимо малой вероятностью.

Далее описаны несколько претендентов на односторонние функции. Не известно, являются ли они действительно односторонними. Но обширные исследования пока не смогли найти эффективный обратный алгоритм к каждой из них.