Вопрос 2.

Модульная арифметика.

Группа.

Непустое множество G с заданной на нём бинарной операцией   называется группой (G, * ), если выполнены следующие аксиомы:

• ассоциативность:  ;

• наличие нейтрального элемента:  ;

• наличие обратного элемента: 

Простейшие свойства.

• Обратный к данному элемент всегда определяется однозначно.

• (a⁻¹)^-1 = a, a^maⁿ = a^m+n, (a^m)ⁿ = a^mn.

• (ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹.

• Верны законы сокращения:

  • ,

  • .

• Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент.

• Группа содержит единственное решение x любого уравнения x · c = b или c · x = b; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление».

• Пересечение двух подгрупп группы G есть подгруппа группы G.

Группы Z⁺_p , Z^*_p.

Алгоритм Евклида.

Пусть a и b — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел

определена тем, что каждое r_k — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть

a = bq₀ + r₁

b = r₁q₁ + r₂

r₁ = r₂q₂ + r₃

r_{k − 2} = r_{k − 1}q_{k − 1} + r_k

r_{n − 1} = r_nq_n

Тогда НОД(a,b), наибольший общий делитель a и b, равен r_n, последнему ненулевому члену этой последовательности.

Существование таких r₁,r₂,..., то есть возможность деления с остатком m на n для любого целого m и целого  , доказывается индукцией по m.

Корректность

этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:

1. Пусть a = bq + r, тогда НОД (a,b) = НОД (b,r).

Доказательство .

Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда a = t₁ * k ; b = t₂ * k; где t₁ и t₂ — целые числа из определения.

Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а r = a − bq = (t₁ − t₂ * q) * k (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)

Обратное также верно и доказывается аналогично пункту 2 - любой делитель b и r так же является делителем a и b.

Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.

В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.

2. НОД (0,r) = r для любого ненулевого r.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа a и b и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

Китайская теорема об остатках.

Если натуральные числа   попарно взаимно просты, то для любых целых   таких, что   при всех  , найдётся число N, которое при делении на a_i даёт остаток r_i при всех  . Более того, если найдутся два таких числа N₁и N₂, то  .

Вопрос 3.

Квадратичный вычeт.

Квадратичный вычет по модулю m — целое число a, для которого разрешимо сравнение

Если указанное сравнение не разрешимо, то число a называется квадратичным невычетом по модулю m.

Свойства.

• Критерий Эйлера: Пусть p > 2 простое.Число a, взаимно простое с p, является квадратичным вычетом по модулю p тогда и только тогда, когда и является квадратичным невычетом по модулю p тогда и только тогда, когда

• Квадратичный закон взаимности

• Квадратичные вычеты, взаимно простые с модулем, образуют мультипликативную подгруппу кольца вычетов, в частности:

вычет   вычет = вычет;

невычет   вычет= невычет.

Символ Лежандра.

Пусть a — целое число, и p — нечётное простое число. Символ Лежандра   определяется следующим образом:

• , если a делится на p.

• , если a является квадратичным вычетом по модулю p

• , если a является квадратичным невычетом по модулю p

Свойства.

• Мультипликативность:  .

• Если  , то  .

• 

• 

• 

• Если q — простое число, не равное p, то   — частный случай квадратичного закона взаимности.

• Среди чисел   ровно половина имеет символ Лежандра, равный +1, а другая половина — −1.

• Символ Лежандра при p > 2 можно вычислить по формуле Эйлера:  .

Символ Якоби.

Пусть P — нечётное, большее единицы число и   — его разложение на простые множители (среди   могут быть равные). Тогда для произвольного целого числа a символ Якоби определяется равенством: где   — символы Лежандра. По определению считаем, что   для всех a.

Свойства.

• Мультипликативность:  .

• В частности,  .

• Периодичность: если  , то

• 

• 

• 

• 

• Если Q — нечётное натуральное число, взаимно простое с P, то   — аналог квадратичного закона взаимности.

• В частности, если P и Q взаимно простые и нечётные, то  .

• Символ Якоби   равен знаку перестановки приведённой системы вычетов по модулю P, которая задаётся как умножение элементов этой группы на a (где обязательно взаимно просто с P).

Применение.

Главным образом, символ Якоби используется для быстрого вычисления символа Лежандра.

Символ Лежандра, в свою очередь, необходим для проверки разрешимости квадратичного сравнения по модулю простого числа. Но считать его по определению (то есть вычислять  ) — достаточно долгая по времени процедура. С помощью алгоритма быстрого возведения в степень это делается за O(log³p) битовых операций (если не использовать быстрое умножение и деление). А вычисление символа Якоби требует только O(log²p) битовых операций.

Символ Якоби используется в некоторых тестах на простоту, например, в (N+1)-методах и, как уже было сказано, в тесте Соловея — Штрассена.

Алгоритм.