III и IV уравнения максвелла

Третье уравнение Максвелла выражает теорему Гаусса-Остроградского для потока вектора электрического смещения, через замкнутую поверхность и нам уже известно

(29.18)

В дифференциальной форме теорема Гаусса выглядит как

(29.19)

проводник-вакуум

Отметим еще, что в диэлектрике вектор смещения состоит из двух частей:

причем величина Е характеризует электрическое поле вакуума, а вектор поляризации Р характеризует действительное смещение электрических зарядов в молекулах или ориентацию полярных молекул в единице объема (1 см³ или 1 м³). Тогда плотность тока смещения

(29.12)

состоит из плотности тока смещения в вакууме и плотности поляризационного тока . Поэтому ток смещения может экспериментально обнаруживаться в диэлектриках - по тепловому действию и возникновению магнитного поля в окружающем пространстве, а в вакууме - только по возникновению магнитного поля. Пример – аппарат для сварки встык линолеума (сварка диэлектриков высокочастотными токами), высокочастотная сварка оксидированного алюминия, сварка полиэтилена холодными электродами и т.п.

Второе уравнение makcbеллa

С учетом введенного понятия о токе смещения Максвелл обобщил теорему о циркуляции

,

заменив в правой части плотность тока проводимости на плотность полного тока:

; (29.13)

(29.14)

Принято чаще записывать это уравнение не для В, а для

Нейтроны называют­ся нуклонами (от лат. nucleus — ядро). Общее число нуклонов в атомном ядре называ­ется массовым числом А.

Атомное ядро характеризуется зарядом Ze, где Z — зарядовое число ядра, равное числу протонов в ядре и совпадающее с порядковым номером химического элемента в Периодической системе элементов Менделеева. Известные в настоящее время 107 элементов таблицы Менделеева имеют зарядовые числа ядер от Z = 1 до Z= 107.

Ядро обозначается тем же символом, что и нейтральный атом: , где Х — символ химического элемента, Z — атомный номер (число протонов в ядре), А — массовое число (число нуклонов в ядре). Сейчас протонно-нейтронная модель ядра не вызывает сомнений.

Так как атом нейтрален, то заряд ядра определяет и число электронов в атоме. От числа же электронов зависит их распределение по состояниям в атоме, от которого, в свою очередь, зависят химические свойства атома. Следовательно, заряд ядра определяет специфику данного химического элемента, т. е. определяет число электро­нов в атоме, конфигурацию их электронных оболочек, величину и характер внутри­атомного электрического поля.

Ядра с одинаковыми Z, но разными А (т. е. с разными числами нейтронов N=A—Z) называются изотопами, а ядра с одинаковыми А, но разными Z - изобарами. Например, водород (Z=1) имеет три изотопа: - протий (Z=1, N=0), Н—дейтерий, (Z=1, N=1), Н—тритий (Z=1, N=2), олово – десять изотопов, и т.д. В подавляющем большинстве случаев изотопы одного и того же химического элемента обладают одинаковыми химическими и почти одинаковыми физическими свойствами (исключение составляют, например, изотопы водорода), определяющимися в основном структурой электронных оболочек, которая является одинаковой для всех изотопов данного элемента. Примером ядер-изобар могут служить ядра Ве, В, С. В насто­ящее время известно более 2500 ядер, отличающихся либо Z, либо А. либо тем и другим.

Радиус ядра задается эмпирической формулой

(44.1)

где R_o = (1,31,7)10 ^-15 м. Однако при употреблении этого понятия необходимо со­блюдать осторожность из-за его неоднозначности. Например, из-за размытости гра­ницы ядра, как у всякой квантовомеханической системы. Величина радиуса ядра варьируется от 2Ф до 10Ф (1Ф «ферми» = 10^-15м) (рис.44.1).

C(r) Рис.44.1. Зависимость С(r) концентрации

нуклонов от расстояния до центра ядра.

R_o – уровень падения С(r) в два раза.

r

r_o

Из формулы (44.1) вытекает, что объем ядра пропорционален числу нуклонов в ядре. Следовательно, плотность ядерного вещества примерно одинакова для всех ядер (10¹⁷ кг/м³).

Размеры протонов и нейтронов примерно одинаковы и составляют около 0,8Ф, плотность их вещества ~7,510¹⁷ кг/м³, т.е., если атом почти пуст, то ядро заполнено веществом примерно на 1/3.

9. Закон полного тока.

Полным током называется алгебраическая сумма токов, пронизывающих поверхность, ограниченную замкнутым контуром.

Положительными считаются токи, направления которых совпадают с поступательным движением буравчика, рукоятка которого вращается по обходу контура.

Закон полного тока (первая формулировка): магнитодвижущая сила вдоль контура равна полному току, который проходит сквозь поверхность, ограниченную данным контуром: F = SI

Закон полного тока (вторая формулировка): циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равна полному току, пронизывающему поверхность, ограниченную этим контуром: SI = ò Нldl

10. Уравнение Шредингера.

Согласно фольклору, столь распространенному среди физиков, случилось это так: в 1926 году физик-теоретик по имени Эрвин Шрёдингер выступал на научном семинаре в Цюрихском университете. Он рассказывал о странных новых идеях, витающих в воздухе, о том, что объекты микромира часто ведут себя скорее как волны, нежели как частицы. Тут слова попросил пожилой преподаватель и сказал: «Шрёдингер, вы что, не видите, что всё это чушь? Или мы тут все не знаем, что волны — они на то и волны, чтобы описываться волновыми уравнениями?» Шрёдингер воспринял это как личную обиду и задался целью разработать волновое уравнение для описания частиц в рамках квантовой механики — и с блеском справился с этой задачей.

Тут необходимо сделать пояснение. В нашем обыденном мире энергия переносится двумя способами: материей при движении с места на место (например, едущим локомотивом или ветром) — в такой передаче энергии участвуют частицы — или волнами (например, радиоволнами, которые передаются мощными передатчиками и ловятся антеннами наших телевизоров). То есть в макромире, где живём мы с вами, все носители энергии строго подразделяются на два типа — корпускулярные (состоящие из материальных частиц) или волновые. При этом любая волна описывается особым типом уравнений — волновыми уравнениями. Все без исключения волны — волны океана, сейсмические волны горных пород, радиоволны из далеких галактик — описываются однотипными волновыми уравнениями. Это пояснение нужно для того, чтобы было понятно, что если мы хотим представить явления субатомного мира в терминах волн распределения вероятности (см. Квантовая механика), эти волны также должны описываться соответствующим волновым уравнением.

Шрёдингер применил к понятию волн вероятности классическое дифференциальное уравнение волновой функции и получил знаменитое уравнение, носящее его имя. Подобно тому как обычное уравнение волновой функции описывает распространение, например, ряби по поверхности воды, уравнение Шрёдингера описывает распространение волны вероятности нахождения частицы в заданной точке пространства. Пики этой волны (точки максимальной вероятности) показывают, в каком месте пространства скорее всего окажется частица. Хотя уравнение Шрёдингера относится к области высшей математики, оно настолько важно для понимания современной физики, что я его все-таки здесь приведу — в самой простой форме (так называемое

(Если поверхность S неподвижна и не деформируется, то изменение потока связано только изменением во времени величины D). Из связи тока с плотностью тока проводимости известно, что

(29.9)

где j_n - плотность тока проводимости. Замена соответствует случаю, когда источник тока находится внутри рассматриваемого участка цепи.

Сравнивая формулы (29.8) и (29.9) видим, что величина имеет смысл плотности тока, обусловлена не движением зарядов, а изменением во времени электрического поля. Проверка размерностей подтверждает этот вывод:

М аксвелл предложил назвать величину плотностью тока смещения.

(29.10)

Плотность тока смещения в данной точке пространства равна скорости изменения вектора электрического смещения в этой точке.

Тогда током смещения сквозь произвольную поверхность S называется физическая величина, численно равная потоку вектора j_см плотности тока смещения сквозь эту поверхность.

(29.11)

П редставление о токе смещения позволяет по-иному рассмотреть процессы, протекающие в электрических цепях, в частности в цепях, содержащих диэлектрики. Например, при заряде и разряде конденсатора линии тока проводимости в обкладках замыкаются линиями тока смещения в диэлектрике между ними (или в вакууме) (рис.29.2,а,б).

Рис.29.2. К понятию «ток смещения»

При этом отметим, что на границе раздела проводник-диэлектрик или

Я вление возникновения в пространстве вихревого электрического поля под влиянием переменного магнитного поля было использовано для создания индукционного ускорителя электронов — бетатрона. Идея этого метода ускорения электронов высказана в 1928 г. P. Видероэ. В дальнейшем она была разработана Я. П. Терлецким. Первый бетатрон построен в 1940 г. в США Д. Керстом.

Рис.29.1. Принцип работы бетатрона.

Основными элементами бетатрона являются сильный электромагнит с коническими полюсными наконечниками А и С (рис. 29.1) и вакуумная ускорительная камера D, имеющая форму замкнутого кольца. Ось камеры совпадает с осью симметрии 00' полюсных наконечников. Изменение силы тока в обмотке электромагнита вызывает в пространстве между полюсами электромагнита изменение магнитного поля и возникновение вихревого электрического поля. Магнитное поле симметрично относительно оси 00`. Поэтому линии напряженности вихревого электрического поля в плоскости MN, перпендикулярной к оси 00' и проходящей через середину зазора между полюсами, имеют вид окружностей, центры которых лежат в точке K. Напряженность Е электрического поля во всех точках каждой окружности одинакова.

*Подробнее о работе бетатрона см. Яворский Б.М., Детлаф А.А., Милковская Л.Б. Курс физики, т.2.- М., Высшая школа, 1964, с. 374-377.ТОК СМЕЩЕНИЯ

Прежде, чем рассмотреть следующее обобщение теории Максвелла, остановимся на понятии, введенном Максвеллом в электродинамику.

Максвелл предположил, что помимо токов всех видов, связанных с упорядоченным движением зарядов, источником возникновения магнитного поля является также переменное во времени электрическое поле.

Действительно, по теореме Гаусса поток напряженности через произвольную замкнутую поверхность равен

(29.7)

Продифференцируем по времени (29.7)

«одномерное стационарное уравнение Шрёдингера»). Вышеупомянутая волновая функция распределения вероятности, обозначаемая греческой буквой ψ («пси»), является решением следующего дифференциального уравнения (ничего страшного, если оно вам не понятно; главное — примите на веру, что это уравнение свидетельствует о том, что вероятность ведёт себя как волна):

где x — расстояние, h— постоянная Планка, а m, E и U — соответственно масса, полная энергия и потенциальная энергия частицы.

Картина квантовых событий, которую дает нам уравнение Шрёдингера, заключается в том, что электроны и другие элементарные частицы ведут себя подобно волнам на поверхности океана. С течением времени пик волны (соответствующий месту, в котором скорее всего будет находиться электрон) смещается в пространстве в соответствии с описывающим эту волну уравнением. То есть то, что мы традиционно считали частицей, в квантовом мире ведёт себя во многом подобно волне.

Когда Шрёдингер впервые опубликовал свои результаты, в мире теоретической физики разразилась буря в стакане воды. Дело в том, что практически в то же время появилась работа современника Шрёдингера — Вернера Гейзенберга (см. Принцип неопределенности Гейзенберга), в которой автор выдвинул концепцию «матричной механики», где те же задачи квантовой механики решались в другой, более сложной с математической точки зрения матричной форме. Переполох был вызван тем, что ученые попросту испугались, не противоречат ли друг другу два в равной мере убедительных подхода к описанию микромира. Волнения были напрасны. Сам Шрёдингер в том же году доказал полную эквивалентность двух теорий — то есть из волнового уравнения следует матричное, и наоборот; результаты же получаются идентичными. Сегодня используется в основном версия Шрёдингера (иногда его теорию называют «волновой механикой»), так как его уравнение менее громоздкое и его легче преподавать.

Однако представить себе и принять, что нечто вроде электрона ведёт себя как волна, не так-то просто. В повседневной жизни мы сталкиваемся либо с частицей, либо с волной. Мяч — это частица, звук — это волна, и всё тут. В мире квантовой механики всё не так однозначно. На самом деле — и эксперименты это вскоре показали — в квантовом мире сущности отличаются от привычных нам объектов и обладают другими свойствами. Свет, который мы привыкли считать волной, иногда ведёт себя как частица (которая называется фотон), а частицы вроде электрона и протона могут вести себя как волны (см. Принцип дополнительности).

Эту проблему обычно называют двойственной или дуальной корпускулярно-волновой природой квантовых частиц, причем свойственна она, судя по всему, всем объектам субатомного мира (см. Теорема Белла). Мы должны понять, что в микромире наши обыденные интуитивные представления о том, какие формы может принимать материя и как она себя может вести, просто неприменимы. Сам факт, что мы используем волновое уравнение для описания движения того, что привыкли считать частицами, — яркое тому доказательство. Как уже отмечалось во Введении, в этом нет особого противоречия. Ведь у нас нет никаких веских оснований полагать, будто то, что мы наблюдаем в макромире, должно с точностью воспроизводиться на уровне микромира. И тем не менее дуальная природа элементарных частиц остается одним из самых непонятных и тревожащих аспектов квантовой механики для многих людей, и не будет преувеличением сказать, что все беды начались с Эрвина Шрёдингера.

11. Магнитный поток.

Итак, движущиеся электрические заряды изменяют свойства окружающего их пространства – создают в нем магнитное поле. Магнитное поле В, порождаемое несколькими движущимися зарядами (токами), равно векторной сумме полей B_i, порождаемых каждым зарядом (током) в отдельности, т.е. выполняется принцип суперпозиции:

. (21.3)

Для описания магнитного поля, распределенного в пространстве, служит магнитный поток Ф

(21.4)

Физический смысл Ф – количество силовых линий магнитного поля, пересекающих единичную площадку, ориентированную перпендикулярно силовым линиям магнитного поля.

Допустим, что провод с током может свободно перемещаться во внешнем магнитном поле. Это можно осуществить с помощью скользящих контактов между кон­цами провода и остальными участками замкнутой цепи (рис.23.4).

Рис. 23.4.

Внешнее поле будем предполагать однородным и перпендикулярным к плоскости контура. На проводник с током в магнитном поле действуют силы, определяемые законом Ампера. При указанных на рисунке направлениях тока и поля сила будет направлена вправо и равна

F = IBl.

где l – длина перемещаемой части проводника.

При перемещении проводника с током на dx эта сила совершит над проводником работу dA = Fdx = iBldx.

Произведение ldx равно заштрихованной площади dS (рис. 23.3), a BdS—потоку магнитной индукции dФ через эту площадку. Поэтому можно написать, что

dA = idФ, (23.8)

где dФ - поток магнитной индукции, пересекаемый проводником при его движении.

Полученный нами результат легко обобщить на случай неоднородного поля. Для этого нужно разбить проводник на участки dl и сложить элементарные работы, совершаемые над каждым участком (в пределах каждой малой площадки dldx магнитную

индукцию можно считать постоянной).

Е _ = Е_i + Е_k. (29.4)

А первое уравнение Максвелла перепишется в общем виде:

++ Е_k, (29.5)

где E_ - суммарная напряженность электрического поля, создаваемая в данной точке всеми источниками поля.

Итак, согласно идее Максвелла, изменяющееся со временем магнитное поле порождает вихревое электрическое поле, (ориентация их определяется правилом буравчика и правилом Ленца).

В дифференциальной форме первое уравнение Максвелла записывается в форме:

(29.6)

Оператор «ротор» дополнительно подчеркивает вихревой характер электрического поля, порождаемого изменением магнитного поля.

Э то поле Е_В существенно отличается от электростатического поля Е_q порождаемого неподвижными электрическими зарядами. Электростатическое поле потенциально, его линии напряженности начинаются и кончаются на и - зарядах соответственно, а линии E_B являются замкнутыми и существующими лишь тогда, когда Напомним, что для потенциального электростатического поля , а для вихревого = Е_i. В общем случае электрическое поле в некоторой точке пространства может слагаться из напряженности Е_q неподвижных электрических зарядов и поля Е_В, обусловленного изменяющимся в данной точке со временем магнитным полем, т.е.

Поскольку само магнитное поле создается движущимися электрическими зарядами, раздельное рассмотрение электрического и магнитного полей имеет относительный смысл. Например, если в случае постоянного тока выбрать инерциальную систему отсчета, связанную с телом неподвижного проводника, то движущиеся в нем электрические заряды порождают как магнитное поле, так и электрическое. А если рассматривать систему, связанную с движущимися зарядами, то в ней можно будет анализировать лишь электрическое поле. Наконец, если выбрать систему, в которой проводник с током будет неравномерно двигаться (или будут неравномерно двигаться в нем электрические заряды), то в некоторой точке пространства магнитное поле будет изменяться со временем. Оно будет изменяться и в том случае, если около этой точки будет прямолинейно и поступательно перемещаться проводник с постоянным током. Таким образом, поле, которое относительно некоторой системы отсчета оказывается «чисто электрическим» или «чисто магнитным», относительно других систем будет представлять собой совокупность электрического и магнитного поля, образующих единое электромагнитное поле.