- •Введение в предмет
- •Лекция 1.1.
- •Математика, ее история, основные элементы и методы
- •1. Предмет, задачи и содержание курса «Математика»
- •2. История развития математики, ее основные этапы
- •3. Развитие понятия числа. Комплексные числа.
- •Контрольные вопросы
- •Раздел I.
- •Тема 2.
- •1. Понятие системы линейных алгебраических уравнений
- •2. Понятие матрицы, виды матриц
- •3. Определители и их свойства. Формулы Крамера
- •1. Арифметические операции над матрицам
- •1)Сложение матриц
- •2) Вычитание матриц
- •3)Умножение матрицы на число
- •4) Произведение матриц
- •2. Понятие обратной матрицы и метод ее нахождения
- •3. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом
- •2. Метод Гаусса решения слау
- •Контрольные вопросы
- •Тема 3.
- •Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •Лекция 3.1.
- •Вектора
- •1. Вектор. Линейные операции над геометрическими векторами
- •Проекция вектора на ось. Разложение вектора по ортам координатных осей
- •Действия над векторами в координатной форме
- •Лекция 3.2. Нелинейные операции над векторами. Линейная независимость векторов и базис пространства.
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов Лекция 3.3 Аналитическая геометрия на плоскости и а пространстве
- •1. Метод координат на плоскости
- •2. Виды уравнений прямой на плоскости
- •3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости
- •4. Прямая и плоскость в пространстве
- •Контрольные вопросы
- •Раздел II.
- •Тема 4.
- •1. Множества и операции над ними
- •2. Понятие функции, ее свойства
- •3. Понятие числовой последовательности
- •Лекция 4.2. Предел функции, основные свойства
- •1. Предел числовой последовательности и его свойства
- •2. Понятие предела функции
- •3. Основные теоремы о пределах
- •Лекция 4.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства
- •1. Понятие бесконечно малых и бесконечно больших функции, их свойства
- •2. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •Раскрытие неопределенностей
- •Лекция 4.4. Замечательные пределы. Непрерывность функций
- •1. Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Непрерывные функции и их свойства
- •Контрольные вопросы
- •Тема 5.
- •Задачи, приводящие к понятию производной
- •Понятие смысл производной
- •Лекция 5.2. Понятие дифференциала функции и его применение в приближенных вычислениях
- •1. Понятие дифференциала функции, его свойства и геометрический смысл
- •2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •Лекция 6.3 Приложение понятия производной
- •Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •Применение производных для вычисления пределов функций (правило Лопиталя)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Возрастание и убывание функций. Экстремумы функции
- •Лекция 5.4. Общее исследование функций с помощью производной
- •Контрольные вопросы
- •Тема 6.
- •Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- •Лекция 6.1.
- •Фнп. Частные производные
- •1.Понятие функции двух и нескольких переменных
- •Лекция 6.2. Приложения понятия частных производных
- •Производная по направлению
- •2. Градиент функции и его применение
- •1. Определение первообразной и неопределенного интеграла
- •2. Непосредственное интегрирование
- •3. Основные методы интегрирования
- •Лекция 7.2. Определенный интеграл и его вычисление
- •Задача о площади криволинейной трапеции
- •Понятие определенного интеграла и его свойства
- •3.Формула Ньютона-Лейбница и основные методы нахождения определенного интеграла
- •Лекция 7.3. Определенный интеграл и его вычисление
- •Понятие несобственного интеграла второго рода
- •Приложения определенного интеграла
- •Контрольные вопросы по теме
- •Тема 8.
- •Дифференциальные уравнения
- •Лекция 8.1.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка, их виды и методы решения
- •1. Понятие дифференциального уравнения и его решения
- •2. Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши
- •3. Основные виды дифференциальных уравнений первого порядка
- •Лекция 8.2. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка
- •2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения (лоду) второго порядка с постоянными коэффициентами
- •1. Понятие числового ряда, его сходимость и сумма
- •1.2. Примеры числовых рядов.
- •Лекция 9.2. Степенной ряд и его область сходимости.
- •2. Степенной ряд, вид его области сходимости
- •Контрольные вопросы
Действия над векторами в координатной форме
Пусть заданы два вектора и или тоже самое
Равенство векторов
Два вектора и называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины. Из определения вектора как направленного отрезка, который можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора перемещать в любую точку пространства, следует, что два вектора и равны тогда и только тогда, когда выполняется равенство их одноименных координат, т.е.
Линейные операции над векторами
К линейным операциям над векторами относятся сложение, вычитание и умножение вектора на число.
Суммой (разностью) векторов и называется вектор, координаты которого равны сумме (разности) одноименных координат векторов, т.е.
или .
Произведением вектора на число называется вектор, координаты которого равны произведению координат вектора на это число, т.е.
или .
Нетрудно понять, что если , то направление вектора совпадает с направлением вектора и противоположно направлению вектора , если .
Коллинеарность векторов.
Так как , то можно записать , где некоторое число. Для координат этих векторов будет выполнено условие:
Отсюда
т.е. или
Таким образом, справедлива теорема.
Теорема 3.1. Координаты коллинеарных векторов пропорциональны, т.е.
Координаты вектора
Пусть известны координаты точек и . Тогда Следовательно, координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала:
Кроме линейных операций существуют различные произведения векторов: скалярное, векторное, смешанное.
Лекция 3.2. Нелинейные операции над векторами. Линейная независимость векторов и базис пространства.
Время -2 а.ч.
План:
Скалярное произведение векторов и его свойства.
Векторное произведение векторов и его свойства
Линейная зависимость и линейная независимость векторов, базис
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается или или . Итак, по определению
угол между векторами (За угол между векторами принимают угол между содержащими их прямыми, величина которого принадлежит промежутку ).
Приведем некоторые свойства скалярного произведения:
1) 2) 3) 4)
5) Теорема 3.2. Два ненулевых вектора и ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, т.е.
Доказательство. Пусть и ортогональные вектора, значит угол между ними равен , а . Подставляя это значение в формулу скалярного произведения получим:
Пусть, наоборот, скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю. Так как векторы ненулевые, то левая часть формулы может быть равна нулю только в том случае, когда косинус угла равен нулю, следовательно, этот угол равен , а значит, вектора ортогональны.
Теорема доказана.
Теорема 3.3. Если векторы и заданы своими координатами и , тогда
Данная формула легко получается, если векторы и записать и перемножить их по правилу умножения многочленов, используя очевидные равенства: