3. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом

Обратная матрица применяется для решения неоднородных СЛАУ.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

Обозначим

-матрица коэффициентов при неизвестных- основная матрица системы, - столбец переменных (неизвестных);

- столбец свободных членов

Учитывая правило умножения матриц, систему запишем в матричной форме (т.к. число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы X, то их произведение существует и является матрицей-столбцом).

Предположим, что квадратная матрица А невырожденная т.е. , значит существует обратная матрица .

Матричное равенство умножим слева на и получим

Итак, решением СЛАУ будет матрица-столбец

.

Правило нахождения решения СЛАУ с помощью обратной матрицы.

1) найти обратную матрицу для основной матрицы системы;

2) умножить найденную матрицу слева на столбец свободных членов В;

3) полученная матрица-столбец и будет решением системы.

Пример 2.5. Решить СЛАУ с помощью обратной матрицы

Решение. В данном примере

Найдем матрицу .

1) Найдем определитель матрицы :

2) найдем дополнительную матрицу .

3) транспонируем дополнительную матрицу

4) найдем обратную матрицу, разделив каждый элемент транспонированной дополнительной матрицы на значение определителя исходной матрицы:

Тогда Ответ:

Метод обратной матрицы и метод Крамера обладают рядом существенных недостатков. Оба эти метода достаточно трудоемки и применительны только для решения СЛАУ, в которых: 1) число уравнений равно числу неизвестных; 2) определитель основной матрицы системы отличен от нуля. Поэтому эти методы применительны для решении небольших и несложных систем.

Наиболее универсальным является метод Гаусса, который позволяет решить СЛАУ с любым числом уравнений и неизвестных.

Контрольные задания

1. Даны матрицы Найти

Ответ:

2. …..

Контрольные вопросы

1.

Лекция 2.3.

Исследование и решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Время-2 часа

План:

1. Ранг матрицы и его применение при исследовании систем линейных алгебраических уравнений.

2. Метод Гаусса решения СЛАУ.

Рассмотрим СЛАУ для которых число уравнений m может быть не равно числу неизвестных n.

С помощью нового понятия - понятия ранга матрицы можно получить ответ на вопрос «Имеет ли СЛАУ решение и, если имеет, то сколько».

1. Ранг матрицы и его применение при исследовании систем линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим СЛАУ m уравнений с n неизвестными:

(2.1)

Как известно, СЛАУ может иметь единственное решение, может иметь множество решений и, может не иметь решения. Ответ на вопрос о существовании и количестве решений дает теорема Кронекера- Капелли. Прежде чем сформулировать эту теорему введем понятие ранга матрицы.

Рассмотрим матрицу А размера .

Минором порядка k матрицы А называется определитель матрицы, получаемый из матрицы А выделением произвольных k строк и k столбцов. Так, минором третьего порядка будет определитель, составленный из любых трех строк и любых трех столбцов матрицы А, минором второго порядка будет определитель, составленный из любых двух строк и любых двух столбцов матрицы А, а минором первого порядка будет любой элемент матрицы А.

Например, для матрицы минором третьего порядка будет определитель этой матрицы ; одним из минором второго порядка будет ; минором первого порядка будет любой из элементов матрицы.

Итак, для квадратной матрицы порядка n наибольший порядок минора будет равен также n.

Например, для матрицы минора третьего порядка не существует; одним из миноров второго порядка будет определитель ; минором первого порядка будет любой из элементов матрицы.

Итак, для прямоугольной (не квадратной) матрицы размера наибольший порядок минора будет равен наименьшему из чисел m и n.

Для дальнейшей работы нам потребуются миноры, которые не равны нулю. Очевидно, что если для какой-то матрицы все миноры k-го порядка равны нулю, то все миноры порядка (k+1) также будут равны нулю.

Рангом матрицы А называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля. Обозначение:

Базисным минором называется любой из отличных от нуля миноров матрицы А, порядок которого равен рангу матрицы А.

Методы вычисления ранга

1-й метод: Метод окаймления миноров

1. Найти ненулевой элемент матрицы (если такового нет, то ранг матрицы равен нулю).

2. Вычислить миноры второго порядка, которые окаймляют выбранный элемент.

3. Если среди вычисленных миноров второго порядка имеется отличный от нуля, рассмотреть все миноры третьего порядка, окаймляющие какой-нибудь минор второго порядка, не равный нулю.

Продолжать так до тех пор, пока все миноры, окаймляющие ненулевой минор k-го порядка, не будут равны нулю. В этом случае ранг матрицы равен k.

Очевидно, что такой процесс является достаточно трудоемким и, по сути, не нужным, т.к. существует особый метод нахождения ранга матрицы. Этот метод состоит в выполнении преобразований над матрицами, которые не меняют ее ранг.

Элементарными преобразованиями матриц являются:

1. Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы.

2. Умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля.

3. Вычеркивание ряда, все элементы которого равны нулю.

4. Замена всех строк столбцами, а столбцов – соответствующими строками (транспонирование).

5. Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Две матрицы называются эквивалентными , если одна матрица получается из другой с помощью элементарных преобразований.

Теорема 2.3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях.

Доказательство теоремы следует из того, что при элементарных преобразованиях элементы строк или столбцов складываются, вычитаются, умножаются на числа или просто переставляются. Все эти действия по свойствам определителей не изменять наивысший порядок отличных от нуля миноров исходной матрицы.

2-й метод: С помощью элементарных преобразований

1. Элементарными преобразованиями превратить матрицу в трапецеидальную.

2. Подсчитать число ненулевых строк в трапецеидальной матрице. Это число и будет являться рангам матрицы.

Пример 2.6. Найти ранг матрицы

…..

Решение. Преобразуем матрицу, используя элементарные преобразования…..

Последняя матрица имеет ступенчатый вид и содержит миноры второго порядка, отличные от нуля. Следовательно, ее ранг равен 2 и ранг исходной матрицы также равен 2.

Понятие ранга существенно используется при исследовании СЛАУ. Напомним, что основной матрицей системы называется матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных. Введем понятие расширенной матрицы системы.

Расширенная матрица системы называется матрица , состоящая из основной матрицы и дополненная столбцом свободных членов, т.е.

Теорема Кронекера-Капелли. СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы этой системы. Причем,

Если ранг матрицы системы равен числу неизвестных, то СЛАУ имеет единственное решение.

Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, то СЛАУ имеет бесконечное множество решений.

Кратко теорема может быть записана так:

Для СЛАУ (2.1) справедливо:

1. Если СЛАУ имеет единственное решение.

2. Если СЛАУ имеет множество решений.

3. Если СЛАУ не имеет решений.

Очевидно, что не может быть, т.к. матрица А часть матрицы