![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Введение в предмет
- •Лекция 1.1.
- •Математика, ее история, основные элементы и методы
- •1. Предмет, задачи и содержание курса «Математика»
- •2. История развития математики, ее основные этапы
- •3. Развитие понятия числа. Комплексные числа.
- •Контрольные вопросы
- •Раздел I.
- •Тема 2.
- •1. Понятие системы линейных алгебраических уравнений
- •2. Понятие матрицы, виды матриц
- •3. Определители и их свойства. Формулы Крамера
- •1. Арифметические операции над матрицам
- •1)Сложение матриц
- •2) Вычитание матриц
- •3)Умножение матрицы на число
- •4) Произведение матриц
- •2. Понятие обратной матрицы и метод ее нахождения
- •3. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом
- •2. Метод Гаусса решения слау
- •Контрольные вопросы
- •Тема 3.
- •Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •Лекция 3.1.
- •Вектора
- •1. Вектор. Линейные операции над геометрическими векторами
- •Проекция вектора на ось. Разложение вектора по ортам координатных осей
- •Действия над векторами в координатной форме
- •Лекция 3.2. Нелинейные операции над векторами. Линейная независимость векторов и базис пространства.
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов Лекция 3.3 Аналитическая геометрия на плоскости и а пространстве
- •1. Метод координат на плоскости
- •2. Виды уравнений прямой на плоскости
- •3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости
- •4. Прямая и плоскость в пространстве
- •Контрольные вопросы
- •Раздел II.
- •Тема 4.
- •1. Множества и операции над ними
- •2. Понятие функции, ее свойства
- •3. Понятие числовой последовательности
- •Лекция 4.2. Предел функции, основные свойства
- •1. Предел числовой последовательности и его свойства
- •2. Понятие предела функции
- •3. Основные теоремы о пределах
- •Лекция 4.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства
- •1. Понятие бесконечно малых и бесконечно больших функции, их свойства
- •2. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •Раскрытие неопределенностей
- •Лекция 4.4. Замечательные пределы. Непрерывность функций
- •1. Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Непрерывные функции и их свойства
- •Контрольные вопросы
- •Тема 5.
- •Задачи, приводящие к понятию производной
- •Понятие смысл производной
- •Лекция 5.2. Понятие дифференциала функции и его применение в приближенных вычислениях
- •1. Понятие дифференциала функции, его свойства и геометрический смысл
- •2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •Лекция 6.3 Приложение понятия производной
- •Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •Применение производных для вычисления пределов функций (правило Лопиталя)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Возрастание и убывание функций. Экстремумы функции
- •Лекция 5.4. Общее исследование функций с помощью производной
- •Контрольные вопросы
- •Тема 6.
- •Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- •Лекция 6.1.
- •Фнп. Частные производные
- •1.Понятие функции двух и нескольких переменных
- •Лекция 6.2. Приложения понятия частных производных
- •Производная по направлению
- •2. Градиент функции и его применение
- •1. Определение первообразной и неопределенного интеграла
- •2. Непосредственное интегрирование
- •3. Основные методы интегрирования
- •Лекция 7.2. Определенный интеграл и его вычисление
- •Задача о площади криволинейной трапеции
- •Понятие определенного интеграла и его свойства
- •3.Формула Ньютона-Лейбница и основные методы нахождения определенного интеграла
- •Лекция 7.3. Определенный интеграл и его вычисление
- •Понятие несобственного интеграла второго рода
- •Приложения определенного интеграла
- •Контрольные вопросы по теме
- •Тема 8.
- •Дифференциальные уравнения
- •Лекция 8.1.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка, их виды и методы решения
- •1. Понятие дифференциального уравнения и его решения
- •2. Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши
- •3. Основные виды дифференциальных уравнений первого порядка
- •Лекция 8.2. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка
- •2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения (лоду) второго порядка с постоянными коэффициентами
- •1. Понятие числового ряда, его сходимость и сумма
- •1.2. Примеры числовых рядов.
- •Лекция 9.2. Степенной ряд и его область сходимости.
- •2. Степенной ряд, вид его области сходимости
- •Контрольные вопросы
2. Непосредственное интегрирование
Из таблицы производных и определения неопределенного интеграла несложно получить таблицу интегралов:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегралы, содержащиеся в таблице, принято называть табличными. Одним из простейших методов интегрирования является метод непосредственного интегрирования.
Непосредственное интегрирование-метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
Пример 7.1. Вычислить
Решение. Применим свойства 4 и 5 и таблицу интегралов, получаем
Необходимо обратить внимание, что ставить произвольную постоянную после вычисления каждого интеграла не следует: обычно все произвольные постоянные суммируются и результат, обозначенный одной буквой С, записывается сразу в окончательный ответ.
Пример 7.2. Вычислить
Решение. Применим свойства 4 и 5 и таблицу интегралов, получаем
Далеко не всякий интеграл можно вычислить путем непосредственного интегрирования на основании свойств интеграла и таблицы. Требуется применение некоторых методов интегрирования.
3. Основные методы интегрирования
К основным методам интегрирования относятся: метод замены переменной и метод интегрирования по частям.
Метод замены переменной (метод подстановки)
1. Метод подведения по знак дифференциала- частный случай метода замены переменной.
В основе данного
метода лежит свойство инвариантности
формул интегрирования (свойство 6).
Рассмотрим один из табличных интегралов
По свойству6 эта формула остается
справедливой не только в случае, когда
x
–независимая переменная, но и тогда,
когда вместо x
стоит некоторая дифференцируемая
функция. Например,
Аналогичная ситуация имеет место и для других формул:
Пример 7.3. Вычислить
интеграл
Решение. Что мешает
применить степенной интеграл для
Понятно, что если бы под знаком
дифференциала стояло выражение
,
а не x,
то такой интеграл был бы табличным.
Вопрос: возможно ли заменить
на
Ответ- да- по свойству дифференциала:
На основании этого свойства
Значит,
Пример 7.4. Вычислить
интеграл
Решение. Для
применения табличной формулы степенного
интеграла при
необходимо, чтобы под знаком дифференциала
стояло выражение
вместо x.
По свойству дифференциала:
На основании свойств дифференциала
.
Следовательно
При сведении интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала -«подведение под знак дифференциала»
Пример 8.1. Найти интеграл
Решение. Применим…..
В рассмотренных
выше примерах дифференциал изменялся
на основании его свойств, т.е. вместо
под знак дифференциала подводилась
некоторая линейная функция вида
,
где
и
некоторые
числа, причем
.
Обобщим это в виде теоремы.
Теорема 8.2.
Пусть
одна
из первообразных для
.
Тогда
где и некоторые числа, причем .
Итак, цель метода подведения под знак дифференциала состоит в видоизменении дифференциала, стоящего под интегралом, за счет использования свойств дифференциала.
Метод подстановки или метод замены переменной
Суть этого метода заключается в том, путем введения новой переменной интегрирования удается вести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительной легко вычисляется непосредственно. Метод замены переменной основан на следующей теореме.
Теорема 8.3.
Пусть функция
определена и дифференцируема на
промежутке
.
Тогда если
первообразная для
на
,
то выполняется равенство
Даная теорема называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл и свести его к табличному.
Замечание 1. В
практике интегрирования применяются
подстановки вида
,
т.е. новая переменная интегрирования
вводится как некоторая функция переменной
х.
Замечание 2. При нахождении интеграла методом замены переменной необходимо в полученном после интегрирования результате обязательно вернуться к старой переменной.
Пример 8.3. …….
Пример 8.4….
Полезно запомнить следующие подстановки:
Метод интегрирования по частям
Пусть функции
и
имеют непрерывные производные на
промежутке
Найдем дифференциал произведения этих функций:
Поэтому, получим
или
Проинтегрируем обе части последнего равенства, получим
,
по свойству неопределенного интеграла ?номер
Эта формула называется формулой интегрирования по частям и составляет основу метода интегрирования по частям.
Суть данного метода
состоит в том в том, что при нахождении
интеграла подынтегральное выражение
представляют в виде произведения
множителей
и
,
при этом
обязательно входит в
.
Затем находят интегралы
и
Пример 8.5……
При вычислении интегралов методом интегрирования по частям главным является разумное разбиение подынтегрального выражения на множители и . Советую запомнить следующее:
Рассмотрим интеграл
вида
1. Пусть
многочлен,
а
одна
из следующих функций:
тогда рекомендуют положить
.
Пример 8.6…..
2. Пусть
многочлен,
а
одна
из следующих функций:
тогда рекомендуют положить
.
Пример 8.7…..
3. Пусть
,
а
одна
из следующих функций:
тогда возможно любое разбиение, при
этом формула интегрирования по частям
будет применяться дважды.
Пример 8.8…..