- •Введение в предмет
- •Лекция 1.1.
- •Математика, ее история, основные элементы и методы
- •1. Предмет, задачи и содержание курса «Математика»
- •2. История развития математики, ее основные этапы
- •3. Развитие понятия числа. Комплексные числа.
- •Контрольные вопросы
- •Раздел I.
- •Тема 2.
- •1. Понятие системы линейных алгебраических уравнений
- •2. Понятие матрицы, виды матриц
- •3. Определители и их свойства. Формулы Крамера
- •1. Арифметические операции над матрицам
- •1)Сложение матриц
- •2) Вычитание матриц
- •3)Умножение матрицы на число
- •4) Произведение матриц
- •2. Понятие обратной матрицы и метод ее нахождения
- •3. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом
- •2. Метод Гаусса решения слау
- •Контрольные вопросы
- •Тема 3.
- •Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •Лекция 3.1.
- •Вектора
- •1. Вектор. Линейные операции над геометрическими векторами
- •Проекция вектора на ось. Разложение вектора по ортам координатных осей
- •Действия над векторами в координатной форме
- •Лекция 3.2. Нелинейные операции над векторами. Линейная независимость векторов и базис пространства.
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов Лекция 3.3 Аналитическая геометрия на плоскости и а пространстве
- •1. Метод координат на плоскости
- •2. Виды уравнений прямой на плоскости
- •3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости
- •4. Прямая и плоскость в пространстве
- •Контрольные вопросы
- •Раздел II.
- •Тема 4.
- •1. Множества и операции над ними
- •2. Понятие функции, ее свойства
- •3. Понятие числовой последовательности
- •Лекция 4.2. Предел функции, основные свойства
- •1. Предел числовой последовательности и его свойства
- •2. Понятие предела функции
- •3. Основные теоремы о пределах
- •Лекция 4.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства
- •1. Понятие бесконечно малых и бесконечно больших функции, их свойства
- •2. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •Раскрытие неопределенностей
- •Лекция 4.4. Замечательные пределы. Непрерывность функций
- •1. Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Непрерывные функции и их свойства
- •Контрольные вопросы
- •Тема 5.
- •Задачи, приводящие к понятию производной
- •Понятие смысл производной
- •Лекция 5.2. Понятие дифференциала функции и его применение в приближенных вычислениях
- •1. Понятие дифференциала функции, его свойства и геометрический смысл
- •2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •Лекция 6.3 Приложение понятия производной
- •Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •Применение производных для вычисления пределов функций (правило Лопиталя)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Возрастание и убывание функций. Экстремумы функции
- •Лекция 5.4. Общее исследование функций с помощью производной
- •Контрольные вопросы
- •Тема 6.
- •Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- •Лекция 6.1.
- •Фнп. Частные производные
- •1.Понятие функции двух и нескольких переменных
- •Лекция 6.2. Приложения понятия частных производных
- •Производная по направлению
- •2. Градиент функции и его применение
- •1. Определение первообразной и неопределенного интеграла
- •2. Непосредственное интегрирование
- •3. Основные методы интегрирования
- •Лекция 7.2. Определенный интеграл и его вычисление
- •Задача о площади криволинейной трапеции
- •Понятие определенного интеграла и его свойства
- •3.Формула Ньютона-Лейбница и основные методы нахождения определенного интеграла
- •Лекция 7.3. Определенный интеграл и его вычисление
- •Понятие несобственного интеграла второго рода
- •Приложения определенного интеграла
- •Контрольные вопросы по теме
- •Тема 8.
- •Дифференциальные уравнения
- •Лекция 8.1.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка, их виды и методы решения
- •1. Понятие дифференциального уравнения и его решения
- •2. Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши
- •3. Основные виды дифференциальных уравнений первого порядка
- •Лекция 8.2. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка
- •2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения (лоду) второго порядка с постоянными коэффициентами
- •1. Понятие числового ряда, его сходимость и сумма
- •1.2. Примеры числовых рядов.
- •Лекция 9.2. Степенной ряд и его область сходимости.
- •2. Степенной ряд, вид его области сходимости
- •Контрольные вопросы
Задания для самостоятельной работы
Применяя правило Лопиталя, вычислить следующие пределы:
1.
2.
Ответы:
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
2,5 |
|
|
|
|
|
|
Возрастание и убывание функций. Экстремумы функции
Одно из самых важных применений производных состоит в том, что с их помощью можно проводить исследования функций, находить промежутки возрастания и убывания, экстремальные значения функции, а также наибольшее и наименьшее значения непрерывных функций на отрезке.
Необходимое и достаточное условие возрастания и убывания функций
Теорема 6.7. (необходимое условие возрастания функции). Пусть функция дифференцируема на и возрастает на данном интервале, то производная функции на этом интервале неотрицательна, т.е.
Доказательство. Рассмотрим функцию - возрастающую на интервале Возьмем произвольную точку и зададим приращение так чтобы Определим отношение Из условия возрастания функции следует, что
при , т.е.
при , т.е.
Отсюда ясно, что так как числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. По условию теоремы функция имеет производную в точке и переходя к пределу отношений приращений (строгое неравенство заменяется на нестрогое), получим Теорема доказана.
???????
Теорема 5… (Необходимый признак убывания функции)
Если дифференцируемая на интервале функция убывает, то производная функции на этом интервале неположительна, т.е для .
Итак, для дифференцируемой функции необходимое условие монотонности кратко может быть записано следующим образом:
-возрастает -убывает
Геометрическая интерпретация теорем:
Необходимые признаки возрастания (убывания) функции |
Достаточные признаки возрастания (убывания) функции |
Th. |
Th. Если дифференцируемая на интервале функция f(x) имеет для , то эта функция возрастает на интервале . |
Th. |
Th. Если дифференцируемая на интервале функция f(x) имеет для , то эта функция убывает на интервале . |
Пример: Исследовать функцию на возрастание и убывание.
Решение:
1. Функция определена на .
2.
3.
4.
Ответ: данная функция возрастает на интервалах ; убывает на интервале .
Лекция 5.4. Общее исследование функций с помощью производной
Время -2 а.ч.
План:
1. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
2. Асимптоты графика функции.
3. Общая схема исследования функции.
……. (сам-но)
Контрольные вопросы
Определение производной функции.
Механический, геометрический и экономический смысл производной.
Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функций.
Основные правила и формулы нахождения производной.
Определение дифференциала функции и дифференциала независимой переменной.
Геометрический смысл дифференциала и его свойства.
Теорема Ферма.
Теорема Роля.
Теорема Лагранжа.
Теорема Коши.
Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
Возрастание и убывание функции. Необходимое и достаточное условие возрастания и убывания функции.
Точки экстремума.
Необходимое и достаточное условие существования экстремума.
Выпуклость и вогнутость графика функции. Достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции.
Точки перегиба. Необходимое и достаточное условие существования точек перегиба.
Асимптоты графика функции, их виды.
Общая схема исследования функции.