Лекция 6.3 Приложение понятия производной

Время- 2 часа

План

1 .Основные теоремы дифференциального исчисления

2. Правило Лопиталя для нахождения пределов функций.

3. Возрастание и убывание функций. Экстремум

В математическом анализе существует ряд теорем о дифференцируемых функциях, которые имеют большое теоретическое и прикладное значение. К таким теоремам относятся теоремы Ферма, Роля, Лагранжа и Коши. Все они названы по именам знаменитых французских математиков XVII-XIX веков.

1. Основные теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема Ферма (теорема о нулях производной).

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и принимает в той точке наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке существует производная, то она равна нулю, т.е. .

Доказательство. Рассмотрим окрестность точки , в которой определена функция. Предположим для определенности, что функция в точке принимает наибольшее значение. Тогда для всех выполняется неравенство , при этом

если , то , т.е. . Следует: (правосторонний предел – неотрицателен);

если , то , т.е. . Следует: (левосторонний предел– неположителен).

По условию теоремы функция в точке имеет производную, т.е. существуют равные односторонние пределы:

.

Равенство возможно только в том случае, когда односторонние пределы равны нулю, но тогда равен нулю и общий предел, т.е. производная. Таким образом, .

Если функция в точке принимает наименьшее значение, то доказательство проводится аналогично с заменой знаков неравенств на противоположные. Теорема доказана.

Геометрическая интерпретация теоремы Ферма: если функция в точке принимает наибольшее или наименьшее значение и дифференцируема в этой точке, то касательная, проведенная к графику этой функции в точке параллельна оси Ox.

Рис.

Теорема Ролля (теорема о корнях производной). Пусть функция

1) непрерывна на ;

2) дифференцируема на ;

3) принимает равные значения на концах отрезка:

Тогда существует хотя бы одна точка в которой производная функции равна нулю, т.е.

Доказательство. Поскольку непрерывна на (по первому условию теоремы), то по теореме Вейерштрасса она принимает на этом отрезке свое наибольшее М и наименьшее m значение. Рассмотрим два возможных случая:

1. . Тогда функция на отрезке сохраняет постоянное значение. А производная постоянной функции равна нулю и, таким образом, для всех точек производная

2. . Поскольку по условию теоремы то по крайней мере одно из значений М или m функция принимает в некоторой точке . А согласно теореме Ферма Теорема доказана.

Геометрическая интерпретация теоремы Ролля: если функция непрерывна на , дифференцируема на и принимает равные значения на концах отрезка, то найдется хотя бы одна точка , такая, что касательная, проведенная к графику данной функции в точке , параллельна оси Ox.

Рис.

Теорема Коши (теорема об отношении приращений двух функций). Пусть функции и

1) непрерывны на ;

2) дифференцируемы на , причем

Тогда существует хотя бы одна точка , такая, то справедлива формула

(6.7)

Доказательство. Сначала отметим, что обе части формулы (6.7) имеют смысл, т.е. знаменатели дробей в обеих частях не равны нулю. В правой части по условию теоремы, т.к. . В левой части имеем: поскольку в противном случае получили бы , но по теореме Ролля существует точка в которой , что противоречит условию теоремы Коши.

Рассмотрим на вспомогательную функцию

Легко проверить, что эта функция удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля. Действительно,

непрерывна на , как разность непрерывных функции и .

дифференцируема на , т.к. имеет конечную производную, равную

принимает равные значения на концах отрезка:

Применяя теорему Ролля к функции , заключаем, что существует такая точка , что , т.е. откуда получаем или Теорема доказана.

Частным случаем теоремы Коши является теорема Лагранжа.

Теорема Лагранжа (теорема о конечных приращениях). Пусть функция

1) непрерывна на ;

2) дифференцируема на .

Тогда существует хотя бы одна точка , такая, то справедлива формула

(6.8)

Доказательство (1-й способ). Рассмотрим на вспомогательную функцию

Легко проверить, что эта функция удовлетворяет всем трем условиям теоремы Роля. Действительно,

и линейной функцией.

дифференцируема на , т.к. имеет конечную производную, равную

принимает равные значения на концах отрезка:

Применяя теорему Ролля к функции , заключаем, что существует такая точка , что , т.е. откуда получаем Теорема доказана.

Доказательство (2-й способ). Применяя теорему Коши, положив в формуле (6.7) функцию Тогда, в том, числе и для . Подставив найденные выражения в формулу (6.7), получим формулу (6.8). Теорема доказана.

Иногда равенство Лагранжа записывают в виде

где .

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа:……..

Рис…..

Замечание 1. Формулу (6.8) называют формулой о конечном приращении, т.к. она говорит о том, что приращение дифференцируемой функции на отрезке равно приращению аргумента, умноженному на значение производной в некоторой внутренней точке этого отрезка.

Замечание 2. Теорема Лагранжа имеет важный физический смысл: существует хотя бы одна точка внутри отрезка такая, что скорость изменения функции в ней равна средней скорости изменения функции на всем отрезке.

Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши называют теоремами о средних значениях.