- •Введение в предмет
- •Лекция 1.1.
- •Математика, ее история, основные элементы и методы
- •1. Предмет, задачи и содержание курса «Математика»
- •2. История развития математики, ее основные этапы
- •3. Развитие понятия числа. Комплексные числа.
- •Контрольные вопросы
- •Раздел I.
- •Тема 2.
- •1. Понятие системы линейных алгебраических уравнений
- •2. Понятие матрицы, виды матриц
- •3. Определители и их свойства. Формулы Крамера
- •1. Арифметические операции над матрицам
- •1)Сложение матриц
- •2) Вычитание матриц
- •3)Умножение матрицы на число
- •4) Произведение матриц
- •2. Понятие обратной матрицы и метод ее нахождения
- •3. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом
- •2. Метод Гаусса решения слау
- •Контрольные вопросы
- •Тема 3.
- •Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •Лекция 3.1.
- •Вектора
- •1. Вектор. Линейные операции над геометрическими векторами
- •Проекция вектора на ось. Разложение вектора по ортам координатных осей
- •Действия над векторами в координатной форме
- •Лекция 3.2. Нелинейные операции над векторами. Линейная независимость векторов и базис пространства.
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов Лекция 3.3 Аналитическая геометрия на плоскости и а пространстве
- •1. Метод координат на плоскости
- •2. Виды уравнений прямой на плоскости
- •3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости
- •4. Прямая и плоскость в пространстве
- •Контрольные вопросы
- •Раздел II.
- •Тема 4.
- •1. Множества и операции над ними
- •2. Понятие функции, ее свойства
- •3. Понятие числовой последовательности
- •Лекция 4.2. Предел функции, основные свойства
- •1. Предел числовой последовательности и его свойства
- •2. Понятие предела функции
- •3. Основные теоремы о пределах
- •Лекция 4.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства
- •1. Понятие бесконечно малых и бесконечно больших функции, их свойства
- •2. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •Раскрытие неопределенностей
- •Лекция 4.4. Замечательные пределы. Непрерывность функций
- •1. Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Непрерывные функции и их свойства
- •Контрольные вопросы
- •Тема 5.
- •Задачи, приводящие к понятию производной
- •Понятие смысл производной
- •Лекция 5.2. Понятие дифференциала функции и его применение в приближенных вычислениях
- •1. Понятие дифференциала функции, его свойства и геометрический смысл
- •2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •Лекция 6.3 Приложение понятия производной
- •Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •Применение производных для вычисления пределов функций (правило Лопиталя)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Возрастание и убывание функций. Экстремумы функции
- •Лекция 5.4. Общее исследование функций с помощью производной
- •Контрольные вопросы
- •Тема 6.
- •Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- •Лекция 6.1.
- •Фнп. Частные производные
- •1.Понятие функции двух и нескольких переменных
- •Лекция 6.2. Приложения понятия частных производных
- •Производная по направлению
- •2. Градиент функции и его применение
- •1. Определение первообразной и неопределенного интеграла
- •2. Непосредственное интегрирование
- •3. Основные методы интегрирования
- •Лекция 7.2. Определенный интеграл и его вычисление
- •Задача о площади криволинейной трапеции
- •Понятие определенного интеграла и его свойства
- •3.Формула Ньютона-Лейбница и основные методы нахождения определенного интеграла
- •Лекция 7.3. Определенный интеграл и его вычисление
- •Понятие несобственного интеграла второго рода
- •Приложения определенного интеграла
- •Контрольные вопросы по теме
- •Тема 8.
- •Дифференциальные уравнения
- •Лекция 8.1.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка, их виды и методы решения
- •1. Понятие дифференциального уравнения и его решения
- •2. Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши
- •3. Основные виды дифференциальных уравнений первого порядка
- •Лекция 8.2. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка
- •2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения (лоду) второго порядка с постоянными коэффициентами
- •1. Понятие числового ряда, его сходимость и сумма
- •1.2. Примеры числовых рядов.
- •Лекция 9.2. Степенной ряд и его область сходимости.
- •2. Степенной ряд, вид его области сходимости
- •Контрольные вопросы
Контрольные вопросы по теме
Понятие первообразной. Определение неопределенного интеграла.
Основные свойства неопределенного интеграла.
Таблица интегралов.
Метод непосредственного интегрирования.
Замена переменной в неопределенном интеграле.
Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
Определение определенного интеграла.
Геометрический смысл определенного интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница.
Понятие несобственного интеграла первого рода. Сходимость и расходимость. Геометрический смысл несобственного интеграла.
Понятие несобственного интеграла второго рода.
Площадь плоской фигуры
Длина дуги кривой
Объем тела вращения.
Тема 8.
Дифференциальные уравнения
Лекция 8.1.
Дифференциальные уравнения первого порядка, их виды и методы решения
Время -2 а.ч.
План:
Понятие дифференциального уравнения и его решения.
Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши.
Основные виды дифференциальных уравнений первого порядка.
При решении задач математики, физики, химии и других наук часто используют математические модели в виде уравнений, связывающих в качестве неизвестной некоторую функцию и ее производные различных порядков. Одно из наиболее простых дифференциальных уравнений-уравнение вида , лежит в основе задачи интегрального исчисления, т.е. задачи нахождения функции, если известна ее производная. Очевидно, что решение рассматриваемого уравнения будет функция, определяемая через интеграл .
Следующие примеры позволяют лучше понять, как различные задачи формулируются на языке дифференциальных уравнений.
Пример 8.1: Закон распада некоторых радиоактивных веществ состоит в том, что скорость распада пропорциональна наличному количеству этого вещества. Если x – количество вещества в некоторый момент времени t, то этот закон можно записать так:
где – скорость распада, а k – некоторая положительная постоянная, характеризующая данное вещество. (Знак «минус» в правой части указывает на то, что x убывает со временем; знак «плюс» означал бы, что x возрастает со временем).
Пример 8.2 Закон охлаждения тел утверждает, что количество тепла в теле убывает пропорционально разности температур тела и окружающей среды. Если чашка кофе, разогретого до температуры 90 С находится в помещении, температура в котором равна 20 С, то
где T – температура кофе в момент времени t.
Пример 8.3: Министр иностранных дел государства Блефуску утверждает, что принятая Лиллипутией программа вооружений вынуждает его страну увеличить военные расходы на сколько это только возможно. С аналогичными заявлениями выступает и министр иностранных дел Лиллипутии. Возникающую в результате ситуацию (в простейшей интерпретации) можно точно описать двумя дифференциальными уравнениями. Пусть x и y – расходы на вооружение Лиллипутии и Блефуску. Предполагая, что Лиллипутия увеличивает свои расходы на вооружение со скоростью, пропорциональной скорости увеличения расходов на вооружение Блефуску, и наоборот, получаем:
где члены ax и by описывают военные расходы каждой из стран, k и l – положительные постоянные. (Эту задачу впервые таким образом сформулировал в 1939 Л.Ричардсон).
После того, как задача записана на языке дифференциальных уравнений, следует попытаться их решить, т.е. найти величины, скорости изменения которых входят в уравнения. Иногда решения находятся в виде явных формул, но чаще их удается представить лишь в приближенном виде или же получить о них качественную информацию.