- •Введение в предмет
- •Лекция 1.1.
- •Математика, ее история, основные элементы и методы
- •1. Предмет, задачи и содержание курса «Математика»
- •2. История развития математики, ее основные этапы
- •3. Развитие понятия числа. Комплексные числа.
- •Контрольные вопросы
- •Раздел I.
- •Тема 2.
- •1. Понятие системы линейных алгебраических уравнений
- •2. Понятие матрицы, виды матриц
- •3. Определители и их свойства. Формулы Крамера
- •1. Арифметические операции над матрицам
- •1)Сложение матриц
- •2) Вычитание матриц
- •3)Умножение матрицы на число
- •4) Произведение матриц
- •2. Понятие обратной матрицы и метод ее нахождения
- •3. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом
- •2. Метод Гаусса решения слау
- •Контрольные вопросы
- •Тема 3.
- •Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •Лекция 3.1.
- •Вектора
- •1. Вектор. Линейные операции над геометрическими векторами
- •Проекция вектора на ось. Разложение вектора по ортам координатных осей
- •Действия над векторами в координатной форме
- •Лекция 3.2. Нелинейные операции над векторами. Линейная независимость векторов и базис пространства.
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов Лекция 3.3 Аналитическая геометрия на плоскости и а пространстве
- •1. Метод координат на плоскости
- •2. Виды уравнений прямой на плоскости
- •3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости
- •4. Прямая и плоскость в пространстве
- •Контрольные вопросы
- •Раздел II.
- •Тема 4.
- •1. Множества и операции над ними
- •2. Понятие функции, ее свойства
- •3. Понятие числовой последовательности
- •Лекция 4.2. Предел функции, основные свойства
- •1. Предел числовой последовательности и его свойства
- •2. Понятие предела функции
- •3. Основные теоремы о пределах
- •Лекция 4.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства
- •1. Понятие бесконечно малых и бесконечно больших функции, их свойства
- •2. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •Раскрытие неопределенностей
- •Лекция 4.4. Замечательные пределы. Непрерывность функций
- •1. Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Непрерывные функции и их свойства
- •Контрольные вопросы
- •Тема 5.
- •Задачи, приводящие к понятию производной
- •Понятие смысл производной
- •Лекция 5.2. Понятие дифференциала функции и его применение в приближенных вычислениях
- •1. Понятие дифференциала функции, его свойства и геометрический смысл
- •2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •Лекция 6.3 Приложение понятия производной
- •Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •Применение производных для вычисления пределов функций (правило Лопиталя)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Возрастание и убывание функций. Экстремумы функции
- •Лекция 5.4. Общее исследование функций с помощью производной
- •Контрольные вопросы
- •Тема 6.
- •Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- •Лекция 6.1.
- •Фнп. Частные производные
- •1.Понятие функции двух и нескольких переменных
- •Лекция 6.2. Приложения понятия частных производных
- •Производная по направлению
- •2. Градиент функции и его применение
- •1. Определение первообразной и неопределенного интеграла
- •2. Непосредственное интегрирование
- •3. Основные методы интегрирования
- •Лекция 7.2. Определенный интеграл и его вычисление
- •Задача о площади криволинейной трапеции
- •Понятие определенного интеграла и его свойства
- •3.Формула Ньютона-Лейбница и основные методы нахождения определенного интеграла
- •Лекция 7.3. Определенный интеграл и его вычисление
- •Понятие несобственного интеграла второго рода
- •Приложения определенного интеграла
- •Контрольные вопросы по теме
- •Тема 8.
- •Дифференциальные уравнения
- •Лекция 8.1.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка, их виды и методы решения
- •1. Понятие дифференциального уравнения и его решения
- •2. Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши
- •3. Основные виды дифференциальных уравнений первого порядка
- •Лекция 8.2. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка
- •2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения (лоду) второго порядка с постоянными коэффициентами
- •1. Понятие числового ряда, его сходимость и сумма
- •1.2. Примеры числовых рядов.
- •Лекция 9.2. Степенной ряд и его область сходимости.
- •2. Степенной ряд, вид его области сходимости
- •Контрольные вопросы
Контрольные вопросы
Определение математики, ее основные методы
Периоды развития математики по Колмогорову
Понятие комплексного числа, его алгебраическая форма, сопряженные комплексные числа.
Арифметические действия с комплексными числами
Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент.
Арифметические действия с комплексными числами в тригонометрической форме.
Показательная форма комплексного числа.
Раздел I.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Тема 2.
Элементы линейной алгебры
Лекция 2.1.
Матрицы и определители. Формулы Крамера
Время-2 часа
План:
Понятие системы линейных алгебраических уравнений
Понятие матрицы, виды матриц
Определители и их свойства. Формулы Крамера.
Раздел высшей алгебры, занимающийся исследованием и решением системы линейных алгебраических уравнений, называется «Линейная алгебра». Линейная алгебра имеет важное значение для выпускников вузов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей процессов и явлений записывается в достаточно простой и компактной, так называемой матричной форме. Матрица, ее свойства, а также связанная с ней величина- определитель широко применяются при решении систем линейных алгебраических уравнений.
1. Понятие системы линейных алгебраических уравнений
Рассмотрим школьную задачу.
Пример: Фирма шьет беби-слинги двух моделей. На пошив одного изделия первой модели требуется 2 м. флиса и 1.5 м. вельвета. На пошив одного изделия второй модели требуется 1м. флиса и 2 м. вельвета. Сколько изделий каждой модели сшила фирма, если было израсходовано 51 м. флиса и 52 м. вельвета?
Решение: Пусть изделий 1-й модели-x штук, а второй-y. Тогда на пошив всех изделий израсходовано флиса метров, вельвета метров. Используя условие задачи, составим систему двух уравнений с двумя неизвестными: Решая систему уравнений, имеем
Итак, фирма сшила 20 изделий первой модели и 11 изделий второй.
Можно привести много разных задач различной тематики, в которых необходимо решить некую систему уравнений, причем число уравнений и неизвестных в системе от задачи к задаче может меняться и не обязательно совпадать.
Перейдем к рассмотрению систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в общем виде.
СЛАУ m уравнений с n неизвестными имеет вид:
(2.1)
где коэффициенты системы; свободные члены; неизвестные.
Слово «линейность» означает то, что все неизвестные входят в систему в первой степени.
СЛАУ могу быть однородными и неоднородными.
СЛАУ (2.1) называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю. В противном случае, СЛАУ называется неоднородной.
Упорядоченный набор чисел (с1, с2, …, сn), обращающий каждое из уравнений системы в тождество, называется ее решением.
Существую СЛАУ которые имеют решение (одно или не обязательно одно) и не имеют решения. Для СЛАУ (2.1) имеет место три варианта:
СЛАУ
Не имеет решения
Имеет единственное решение
Имеет бесчисленное множество решений
СЛАУ несовместна
СЛАУ неопределена
СЛАУ определена
Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, в противном случае – система несовместная.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Нетрудно понять, что решение СЛАУ полностью определяется коэффициентами системы и свободными членами. Поэтому встает вопрос: можно ли отдельно исследовать их, записав в виде компактных таблиц, а не переписывать каждый раз СЛАУ? Оказывается можно. Таблицы, которыми пользуются при решении СЛАУ, назвали матрицами.