3. Основные виды дифференциальных уравнений первого порядка

Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде

Для отыскания решения такого уравнения его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной х окажутся в одной части равенства, а переменной у – в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного равенства и получить общее решение исходного уравнения.

…….

Пример…

Однородные дифференциальные уравнения

Прежде чем перейти к определению оду необходимо дать определение однородной функции двух переменных.

Функция называется однородной функцией n-го порядка относительно переменных x и y, если при любом имеет место тождество

Пример: Выяснить, являются ли однородными функции:



Дифференциальное уравнение вида

 (1)

называется однородным, если - однородные функции одинакового порядка.

или

Дифференциальное уравнение вида

 (2)

Однородное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной



Линейные уравнения. Уравнение Бернулли

Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно y и вида:

(8. 5)

Особенность линейного ДУ первого порядка – искомая функция у и ее производная входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.

Рассмотрим способ решения уравнения (8.5).

Лекция 8.2. Дифференциальные уравнения высших порядков

Время -2 а.ч.

План:

1. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка.

2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

На практике достаточно часто сталкиваются необходимостью уметь решать дифференциальные уравнения не первого, а более высокого порядка т.е. дифференциальные уравнения, в которые входят вторая, третья и другие производные искомой функции.

1. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка

Рассмотрим три типа уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка, т.е. позволяющие свести их решение или к интегрированию, или к решению двух дифференциальных уравнений первого порядка.

1. Рассмотрим уравнение вида