Лекция 5.2. Понятие дифференциала функции и его применение в приближенных вычислениях

Время -2 а.ч.

План:

1. Понятие дифференциала функции, его свойства и геометрический смысл

2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Одним из самых важных понятий дифференциального исчисления наряду с понятием производной, является понятие дифференциала функции. Эти два понятия разные, хотя и тесно связаны друг с другом. Понятие дифференциала первоначально появилось в работах Лейбница. Ему же принадлежит и создание новых удобных форм записи, т.е. создание языка дифференциалов.

1. Понятие дифференциала функции, его свойства и геометрический смысл

Пусть функция дифференцируема на отрезке . Производная функции в каждой точке отрезка по определение равна:

По теореме о применении бесконечно малых при вычислении пределов

,

где -бесконечно малая функция при

Домножив обе части равенства на , получим

Таким образом, приращение функции представлено в виде суммы двух бесконечно малых слагаемых. При этом первое слагаемое линейно относительно , а второе- нелинейно относительно приращения аргумента . Очевидно, что второе слагаемое является бесконечно малой более высокого порядка и при оказывается несущественным и достаточно малым по сравнению с первым. Следовательно, основное влияние на приращение функции оказывает первое слагаемое. Его и называют дифференциалом функции и обозначают .

Дифференциалом функции в точке называется главная, линейная относительно , часть приращения функции в этой точке:

(5.1)

Иначе говоря, дифференциал функции это величина, равная произведению производной данной функции на соответствующее приращение аргумента.

Пример 5.1. Найти дифференциал функции в произвольной точке x.

Решение: . Следовательно .

Из примера следует важный факт о связи дифференциала и приращения независимой переменной x, а именно дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной, т.е.

Подставляя последнее равенство в формулу (5.1) получим еще одну формулу для нахождения дифференциала:

(5.2)

Итак, дифференциал функции равен произведению производной данной функции на дифференциал аргумента.

Пример 5.2.

Найти дифференциал функции

…..

Обратившись к формуле (5.2) и запишем ее в виде

Таким образом, производную можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу аргумента.

Дифференциал, как и производную можно определить графически.

Геометрический смысл дифференциала

Свойства дифференциала

……

2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Как известно, приращение функции в точке x можно представить в виде , где при или . Отбрасывая бесконечно малую более высокого порядка, чем , получаем приближенное равенство

(////)

Подставляя в равенство выражения для и , получим

или

-формула для вычисления приближенных значений функций.

Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

Пример. Вычислить приближенно .

Решение: Рассмотрим функцию . По формуле ….. имеем

, т.е.

,

Так как , то при и получаем:

Дифференциалы высших порядков.

……