2. Эквивалентные бесконечно малые функции
Отношение двух
бесконечно малых может вести себя
различным образом. Пусть
и
бесконечно
малые функции при
.
1. Функции
и
называются
бесконечно
малыми одного порядка малости
при
,
если предел их отношения есть конечное
число не равное нулю, т.е.
2. Функция
называется бесконечно
малой более высокого порядка малости
при
чем
,
если предел их отношения равен нулю,
т.е.
3. Функция
называется бесконечно
малой более низкого порядка малости
при
чем
,
если предел их отношения равен
бесконечности, т.е.
4. Функции и называются несравнимыми бесконечно малыми при , если предел их отношения не существует.
5. Функции
и
называются
эквивалентными
бесконечно
малыми (асимптотически равными)
при
,
если предел их отношения равен единице,
т.е.
Обозначение:
Пример:
1)
и
-бесконечно
малые одного порядка малости при
,
т.к.
2)
есть бесконечно малая более высокого
порядка малости, чем
при
,
т.к.
3)
и
есть несравнимые бесконечно малые при
,
т.к.
не
существует.
Для эквивалентных бесконечно малых имеют место теоремы.
Теорема 4.13. Предел отношения двух бесконечно малых функций не измениться, если обе или одну из них заменить на эквивалентную бесконечно малую.
Доказательство.
Пусть
и
при
.
Тогда
Раскрытие неопределенностей
Как уже отмечалось,
далеко не все пределы можно вычислить
простой подстановкой значения, к которому
стремиться аргумент в функцию, стоящую
под знаком предела. Достаточно часто
сталкиваются с некоторыми неопределенностями,
когда невозможно сразу найти значение
предела. В таких случаях применяют
некоторые методы, которые позволяют
удалить возникшую неопределенность,
или, раскрыть
неопределенность.
Основными неопределенностями являются
неопределенности, связанные с отношением
двух бесконечно малых и двух бесконечно
больших величин, обозначаемых
и
соответственно. Кроме этого, встречаются
неопределенности следующих видов:
,
,
,
,
.
Рассмотрим несколько стандартных методов раскрытия неопределенности.
1. Пусть рассматривается
предел отношения многочленов
,
где
и
-
бесконечно большие функции при
.
Очевидно, что в этом случае имеет место
неопределенность
.
Для ее раскрытия предлагается числитель
и знаменатель разделить на
в наивысшей степени и применить свойства
бесконечно малых и бесконечно больших
функций.
Пример 4….
Найти предел
Решение:
Очевидно, что имеет место неопределенность
.
Наивысшая степень
равна трем. Разделим числитель и
знаменатель на
и после сокращения применим свойства
бесконечно малых и бесконечно больших
функций, получим:
Пример 4….
Найти предел
Решение:
Очевидно, что имеет место неопределенность
.
Наивысшая степень
равна четырем. Разделим числитель и
знаменатель на
и после сокращения применим свойства
бесконечно малых и бесконечно больших
функций, получим:
Пример 4….
Найти предел
Решение:
Очевидно, что имеет место неопределенность
.
Наивысшая степень
равна пяти. Разделим числитель и
знаменатель на
и после сокращения применим свойства
бесконечно малых и бесконечно больших
функций, получим:
Сравнивая результаты трех примеров нетрудно понять, что значение предела зависит от степени многочленов, стоящих в числителе и знаменателе. В общем виде правило можно записать следующим образом:
2.Пусть рассматривается
предел отношения многочленов
,
где
и
-
бесконечно малые функции при
.
Очевидно, что в этом случае имеет место
неопределенность
.
Для ее раскрытия предлагается числитель
и знаменатель разложить на множители
и произвести сокращение.
Пример 4…Найти
предел
Решение. Очевидно, что имеет место неопределенность . Раскроем ее, используя тождественные преобразования:
3. Пусть под знаком предела имеется
функция или функции, стоящие под знаком
корня. В этом случае могут появиться
неопределенности вида
,
,
.
Для их раскрытия предлагается домножить
числитель и знаменатель на выражение,
дополняющее одну из формул сокращенного
умножения (разность квадратов, сумму и
разность кубов). Затем провести
алгебраические преобразования и
сокращения.
Пример 4….
Найти предел
Решение. Очевидно,
что имеет место неопределенность
.
Домножим числитель и знаменатель на
выражение
и выражение в знаменателе запишем как
разность квадратов. Получим
Для нахождения пределов тригонометрических, показательных и логарифмических функций часто используют так называемые замечательные пределы.