3. Понятие числовой последовательности

Рассмотрим особый вид функции- числовую последовательность.

Пусть задана некоторая функция , аргумент которой будет натуральным числом ( , т.е.

если , то

если , то

…..

если , то

Значения этой функции будут определять бесконечный ряд чисел, называемый последовательностью.

Бесконечной числовой последовательностью называется бесконечный ряд, занумерованный числами натурального ряда в порядке возрастания или убывания номеров. Иначе говоря, числовая последовательность это функция, заданная на множестве натуральных чисел.

Числовая последовательность это функция натурального аргумента.

На практике, числовую последовательность записывают _. Числа _{называются членами последовательности, а} общий член или n-й член числовой последовательности. По общему члену всегда можно найти любой член последовательности, подставив вместо n нужное число.

Последовательность считается заданной, если задан закон, по которому она образуется, т.е. правило нахождения общего члена

Пример:

1) - формула общего члена; -члены числовой последовательности;

2) формула общего члена; -члены числовой последовательности.

Так как последовательность- это частный вид функции, то, как и функции, последовательности могут быть ограниченными и неограниченными, возрастающими и убывающими. Например,

1) ограниченная, убывающая.

2) ограниченная, не монотонная.

3) неограниченна, не монотонна.

Лекция 4.2. Предел функции, основные свойства

Время -2 а.ч.

План:

1. Предел числовой последовательности и его свойства

2. Понятие предела функции

3. Основные теоремы о пределах

В математическом анализе широко используется представление некоторых словесных выражений в виде символов которые называются кванторами.

Основными кванторами являются:

- знак логического следования (одно следует из другого)

- знак равносильности

- знак принадлежности

- знак непринадлежности

- квантор существования (соответствует словам «имеется», «найдется»)

- квантор общности (соответствует словам «для любого», «для всех»)

-множество элементов x, удовлетворяющих условию P(x)

1. Предел числовой последовательности и его свойства

Пример. Пусть в тире тренировались два стрелка: хороший - назовем его "Снайпер", и плохой - "Мазила".

Если внимательно посмотреть на результаты этой тренировки, то нетрудно заметить, что последовательность выстрелов "Снайпера" (последовательность А) вся находится не только внутри мишени, но и, более того, как бы "стремится" к центру мишени ("яблочко"). А вот у "Мазилы" дела плохи (последовательность В)- выстрелы разбросаны по всей мишени в абсолютном беспорядке, несколько даже оказались в "молоке". Математики в этом случае говорят, что последовательность А сходится (к центру, к "10"), а последовательность В - расходится. Число, к которому сходится последовательность А (число 10) называют пределом сходящейся последовательности.

Точка сгущения- точка, к которой стягиваются члены числовой последовательности. В любой окрестности точки сгущения окажутся бесконечное множество членов числовой последовательности. Существуют последовательности, которые имеют единственную точку сгущения. В этом случае ее называют пределом числовой последовательности. Математики не любят термин «точка сгущения для членов последовательности», они предпочитают использовать термин «предел последовательности».

Дадим строгие определение предела последовательности, а так же определения сходящейся и расходящейся последовательности.

Число а называется пределом числовой последовательности (переменной) , если для любого сколь угодно малого, наперед задуманного, положительного числа найдется такой номер N начиная с которого для всех членов последовательности с номерами верно неравенство .

Предел числовой последовательности обозначается или при .

На языке кванторов определение предела имеет вид:

Числовые последовательности, имеющие конечный предел называются сходящимися. Если предел последовательности не существует или равен бесконечности, то последовательность называется расходящейся.

Смысл определения предела числовой последовательности состоит в том, что для достаточно больших n члены последовательности сколь угодно мало отличаются от числа а. Например, члены числовой последовательности имеют вид: . Пределом этой последовательности является число "ноль". Действительно, если изобразить эту последовательность на числовой оси, то мы увидим, что все члены последовательности как бы стремятся "слипнуться" с нулем. (рис….)

Рисунок 1…

Исходя из вышеизложенного, можно записать: Пример: Дана последовательность .1) Доказать, что число 1 является ее пределом; 2) при каких n выполняется неравенство

Решение. 1) Докажем, используя определение предела. Возьмем произвольное и покажем, что можно найти такой номер N начиная с которого для всех членов последовательности с номерами верно неравенство

Преобразуем это неравенство:

Очевидно, что если принять N равным ближайшему целому числу, большим величины например, то будет выполняться неравенство

2) В нашем случае , тогда . Отсюда имеем, что все члены последовательности с номерами удовлетворяют неравенству иными словами, отличаются от своего предела не больше, чем на 0,01.

Для лучшего понимания понятия предела последовательности полезно использовать его геометрический смысл.

Неравенство эквивалентное неравенству , означает, что для любого существует такой номер N, , что все члены последовательности с номерами расположены между и .

Переменная сгущается, накапливается возле своего предела и в интервале находится бесконечное число, а вне её, конечное.

Замечание. Если число а — предел последовательности , то, образно выражаясь, — это «ловушка» для последовательности: начиная с некоторого номера эта ловушка «заглатывает» и все последующие члены последовательности. Чем «тоньше» ловушка, тем дольше «сопротивляется» последовательность, но потом все равно «подписывает акт о капитуляции» — попадает в выбранную окрестность.

Основные теоремы о пределах последовательности

Теорема 4.2. Сходящая последовательность имеет только единственный предел.

Доказательство: Предположим, противное- что сходящаяся последовательность имеет два различных предела и причем стр. 63 Хамов

Остальные теоремы приведем без доказательства.

Теорема 4.3. Сходящаяся последовательность всегда ограничена.

Теорема 4.4. (о предельном переходе в неравенстве). Если и начиная с некоторого номера, выполняется то и

Теорема 4.5. (о сжатой переменной). Если члены трех последовательностей связаны неравенствами и при этом последовательности и имеют один и тот же предел а, т.е. , то и последовательность имеет предел а, т.е. .

Теорема 4.6. (теорема Вейерштрасса о существовании предела монотонной последовательности). Любая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.

Итак, было рассмотрено понятие предела функции натурального аргумента- числовой последовательности. Обобщим это понятие для произвольной функции.