97. Какими свойствами и параметрами характеризуются поверхности типа экструзий?

Название этих поверхностей происходит от английского слова extrusion, означающего выталкивание, выдавливание. С такими поверхностями встречаются довольно часто: это и металлические профили, выдавленные из расплава, и керамические пустотелые кирпичи, выдавленные из глины. К экструзиям относят и поверхности вращения, которые вырезаны резцом из заготовки.

Достаточно широкий класс машиностроительных деталей, предметов быта, архитектурных форм может быть представлен как результат вращения кривой или ломаной линии относительно некоторой оси. Обычно поверхности такого типа описывают в виде усеченных конусов, примыкающих друг к другу торцами (рис. 2.2.1,а,б).

Рис. 2.2.1. Поверхности типа экструзий

1) Кривую линию, являющуюся линией вращения фигуры, аппроксимируют ломаной линией. Каждый отдельный участок последней становится образующей отдельного конуса. Таким образом, если кривая аппроксимируется ломаной из ста отрезков, то вся фигура представляется из ста попарно смежных конусов. Описание конуса может быть как неявным, так и параметрическим в зависимости от алгоритма синтеза изображения.

2) Другими представителями поверхностей-экструзий являются поверхности, образованные путем параллельного переноса кривой линии вдоль некоторой прямой. Как и в других случаях, кривую аппроксимируют ломаной линией, а всю поверхность фигуры представляют множеством смежных четырехугольников. Две стороны каждого четырехугольника параллельны направляющей прямой, а две остальные параллельны соответствующему отрезку ломаной (рис.2.2.1,в,г).

3) Если в качестве направляющей используется кривая линия, то она, в свою очередь, также аппроксимируется ломаной. В пределах каждого отрезка направляющей ломаной линии поверхность представляется лентой смежных четырехугольников, которая сопрягается с соседней лентой, построенной в направлении следующего отрезка направляющей ломаной (рис.2.2.1,д,е).

98. Какими свойствами и параметрами характеризуются фрактальные поверхности?

Естественные сцены часто не могут быть описаны на основе традиционных приемов, базирующихся на использовании непрерывных функций. Однако можно заметить, что большинство природных сцен статистически родственны (анализ нерегулярности изображений береговой линии, полученных при съемке из космоса с высот 10; 3 км и при наблюдении с уровня поверхности Земли). При этом установлено, что при любом уровне разрешения береговая линия может быть смоделирована и нарисована посредством объединения участков небольших прямолинейных сегментов. Причем при переходе на каждый следующий, более высокий уровень разрешения, который был предварительно аппроксимирован одним прямолинейным сегментом, этот сегмент теперь должен быть вероятностным образом разбит на последовательность линейных сегментов, и так далее и до бесконечности. На основании этого свойства – постоянства статистического закона порождения деталей природных образований при переходе от низких к более высоким уровням разрешения – построен метод использования фрактальных поверхностей.

В переводе с английского "фрактальный" означает состоящий из частиц, частей. Такими поверхностями называют класс нерегулярных геометрических форм, задаваемых вероятностным образом на основе исходного описания низкого разрешения. Случайный закон, с помощью которого исходная линия или поверхность дробится на несколько более мелких линий или поверхностей, подбирается опытным путем по критерию визуального согласования синтезированного изображения с реальной моделируемой сценой.

Наиболее часто фрактальные поверхности используются для моделирования горного ландшафта. Предварительно горный массив описывают очень приближенно полигональным полем из четырехугольников. Каждый четырехугольник разбивают с помощью случайной функции на четыре фигуры меньших размеров, причем эти фигуры вероятностным образом сдвигают относительно плоскости исходного четырехугольника, сохраняя для каждой фигуры по одной общей вершине с исходным четырехугольником. Каждую фигуру вновь делят, и так далее до достижения желаемого уровня изрезанности поверхности.

Построение изображения осуществляется путем удаления скрытых поверхностей и закраски множества сгенерированных четырехугольников. Изображения, созданные на основе фрактальных поверхностей, только статистически идентичны реальным объектам, поэтому от них нельзя требовать идеальной точности.

ДОПОЛНЕНИЕ

Фракталы с большой точностью могут описывать многие физические явления и природные образования: горы, облака, деревья, ландшафты... Впервые фрактальную природу нашего мира подметил Бенуа Мандельброт. Слово «фрактал» происходит от латинского fractus, что означает «дробный», и frahgere — «ломать». Главной особенностью фракталов является их бесконечное самоподобие. Фрактальные функции широко используются в качестве инструментов для реалистичного построения природных объектов, бесконечно сложных узоров и картин...

Одно из преимуществ таких поверхностей в том, что можно получить любой уровень их детализации, независимо от того, насколько близко мы к ним находимся. В машинной графике фракталы строятся простыми и быстрыми итерационными алгоритмами.

Попробуем изобразить линию-фрактал, имеющую бесконечное число максимумов и минимумов на отрезке (0, 1). Такая линия показана на рис. 15.1.

Построить эту функцию можно так: разбиваем отрезок на 1/2, строим равносторонний треугольник; одну из сторон делим на 2 и от него строим следующий треугольник с меньшей стороной и так до бесконечности...

Если делить отрезок не на две, а на три части, то можно построить другую линию (см. рис. 15.2).

Такие функции обладают интересными и необычными свойствами. Например, фрактал, показанный нарис. 15.2, имеет такие свойства: число треугольников («крыш») бесконечно; на такой линии расположено бесконечное число точек, которые не защищены «крышей» — это точки 0, ..., 1/9, 2/9, ..., 1/3, 2/3, ..., 1.

ПРИМЕРЫ

Чертова лестница. На рис. 15.3 изображена лестница с бесконечным числом ступеней.

Общая длина ступеней равна единице: 1 * 1/3 + 2 * 1/9 + 4 * 1/27 + ... = 1. «Часть», составленная из длин всех ступеней, равна «целому», представляющему собой отрезок единичной длины!

Ковер Серпинского. Будем разбивать квадрат на 9 частей и каждый раз выкидывать среднюю. Таким образом мы получаем абсолютно дырявое тело — линию, где нет целых частей:

Линия Пеано — это непрерывная линия, проходящая через все точки квадрата. Когда число замен линий на скобки будет стремиться к бесконечности в квадрате на рис. 15.5 не останется пустых мест:

Фрактал Коши. «Бесконечно колючая линия» (рис. 15.6), периметр P которой вычисляется по формуле: P = 3 * (4/3)n, где n — номер итерации (на рисунке показана линия для n = 3). Если n бесконечно, то длина линии бесконечна. Примечательно то, что в конечном куске плоскости можно уместить бесконечно длинную линию.