92. Какими свойствами и параметрами характеризуются поверхности первого порядка?

Поверхности первого порядка типа , где – коэффициенты, представляют собой плоскости.

Поверхности первого порядка. В системе координат объекта любой его отдельный плоский участок лежит в плоскости, описываемой уравнением или в матричном виде , где .

Изменив компоненты матрицы , можно описать плоскость любой ориентации и положения, однако каждый раз это будет описание бесконечно простирающейся плоскости. Реальный плоский участок ограничен плоской кривой или ломаной линией. Наиболее удобен для рассмотрения случай ограничения выпуклым многоугольником. Все другие случаи, как криволинейного ограничения, так и невыпуклой фигуры, могут быть сведены к указанному выше путем аппроксимации или разбиения на выпуклые подфигуры. Примером плоского примитива является крыло самолета.

Уравнение плоскости определяют на основании координат трех точек: , , , заведомо не лежащих на одной прямой:

.

Из поверхностей первого порядка можно составить описание поверхности объекта типа полигонального поля. Таким полем называют серию смежных многоугольников, не имеющих разрывов между собой. Каждое ребро поля является общим для смежных многоугольников. Составная функция, описывающая поверхность, обладает непрерывностью, а производная имеет разрывы в местах стыка участков плоскостей.

93. В чем заключается принцип параметрического описания поверхностей?

Поверхности, заданные в форме , , , где – параметры, изменяющиеся в заданных пределах, относятся к классу параметрических. Для одной фиксированной пары значений можно вычислить только положение одной точки поверхности. Для полного представления о всей поверхности необходимо с определенным шагом перебрать множество пар из диапазона их изменений, вычисляя для каждой пары значение в трехмерном пространстве. Любую поверхность, описанную неявно, можно представить и параметрически, но обратное правило в большинстве случаев не выполняется. Параметрические поверхности очень легко ограничиваются в пространстве путем задания пределов изменения параметров.

Основным преимуществом параметрического описания является возможность передачи геометрической формы очень сложных поверхностей, которые другими методами описать очень сложно. Например, даже такое сложное тело, как винтообразная улитка, может быть описано посредством параметрического представления суммы трех векторов: первого, вокруг которого завивается улитка; второго, конец которого очерчивает спираль, а начало скользит по первому; и третьего, начало которого скользит по спирали, а конец вращается вокруг спирали.

Другое преимущество параметрического описания заключается в приспособленности к физическим процессам управления резцом в станках с ЧПУ (числовым программным управлением). Резец в этом случае должен вытачивать деталь, двигаясь в пространстве по законам, заданным в параметрической модели. Этот подход является единственным приемлемым для моделирования очень сложных гладких участков посредством аппроксимации сплайнами.

ДОПОЛНЕНИЕ

Особенно важными для практики являются параметрические бикубические поверхности. Бикубические поверхности являются простейшими среди форм поверхностей, с помощью которых достигается непрерывность составной функции и ее первых производных. Другими словами, функция, составленная из нескольких смежных бикубических участков, будет обладать непрерывностью и гладкостью в местах стыка. Обычно бикубические участки – это гладкие изогнутые четырехугольники, представление о которых могут дать листы металла, бумаги и других материалов, обладающих упругостью. Описанию и изображению бикубических поверхностей посвящена обширная литература, что обусловлено свойствами этих поверхностей описывать любые геометрические формы. К недостаткам такой формы задания поверхностей следует отнести трудоемкость описания и большие вычислительные затраты.