- •1. Определение монотонной функции. Необходимое и достаточное условие возрастания функции. Достаточное условие строгого возрастания функции.
- •2. Определение монотонной функции. Необходимое и достаточное условие убывания функции. Достаточное условие строгого убывания функции.
- •3. Определение локального экстремума функции одной переменной. Необходимое условие локального экстремума функции одной переменной.
- •4. Определение локального экстремума функции одной переменной. Первое достаточное условие строгого локального экстремума функции одной переменной.
- •5. Определение локального экстремума функции одной переменной. Второе достаточное условие строгого локального экстремума функции одной переменной.
- •6. Определение выпуклости и вогнутости функции одной переменной (выпуклость вверх, выпуклость вниз). Достаточное условие выпуклости функции одной переменной.
- •7. Определение точки перегиба графика функции одной переменной. Необходимое условие перегиба.
- •8. Определение точки перегиба графика функции одной переменной. Достаточное условие перегиба.
- •9. Определение вертикальной и наклонной асимптоты. Нахождение наклонной асимптоты.
- •10. Наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной на замкнутом промежутке.
- •11. Формула Тейлора и формула Маклорена.
- •12. Разложение по формуле Маклорена функции , , .
- •13. Функции нескольких переменных (фнп). Основные определения. Предел фнп.
- •14. Непрерывность фнп. Основные свойства непрерывных функций.
- •15. Частные производные (определение, способы вычисления).
- •16. Частные производные старших порядков. Теорема о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.
- •17. Определение дифференцируемости фнп. Необходимое условие дифференцируемости. Теорема о связи дифференцируемости фнп и существования частных производных.
- •18. Полный дифференциал функции двух переменных.
- •19. Производные сложной функции.
- •20. Определение производной по направлению.
- •21. Определение градиента функции, линии уровня, свойства градиента.
- •22. Определение локального экстремума фнп. Необходимое условие экстремума фнп.
- •23. Определение локального экстремума фнп. Достаточное условие экстремума фнп.
- •24. Условный экстремум функции двух переменных (определение, метод подстановки и метод неопределенных множителей Лагранжа)
- •25. Наибольшее и наименьшее значение фнп в замкнутой и ограниченной области.
- •26. Определение первообразной функции. Теорема о свойствах первообразных функций.
- •27. Определение неопределенного интеграла. Теорема о существовании неопределенного интеграла (достаточное условие).
- •28. Таблица интегралов.
- •29. Свойства неопределенного интеграла.
- •30. Метод замены переменной (метод подстановки) в неопределенном интеграле.
- •31. Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
- •32. Определенный интеграл (определение, геометрический смысл).
- •33. Свойства определенного интеграла.
- •34. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу.
- •35. Формула Ньютона-Лейбница.
- •36. Метод замены переменной (метод подстановки) в определенном интеграле.
- •37. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле.
- •38. Определение несобственного интеграла первого рода (по бесконечному промежутку).
- •39. Определение несобственного интеграла второго рода (от функций, имеющих разрыв).
- •40. Понятие о дифференциальных уравнениях. Общее и частное решение. Начальные условия. Задачи Коши.
- •41. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и метод их решения.
- •42. Однородные дифференциальные уравнения.
- •43. Линейные уравнения I-порядка.
24. Условный экстремум функции двух переменных (определение, метод подстановки и метод неопределенных множителей Лагранжа)
Условным extr функции называется extr этой функции при условии, что переменные x и y связаны уравнением - уравнение связи.
Таким образом extr ищется только на множестве тех точек плоскости, которые удовлетворяют этому уравнению. Если в уравнении связи одна переменная может быть однозначно выражена через другую, то достаточно записать . Далее обычным способом находится extr функции одной переменной.
Если же ниодна переменная не может быть выражена однозначно через другую, то в общем случае задачу об искании условного extr можно свести к исследованию на обычный extr вспомогательной функцией(так называемой функцией Лагранжа)
Необходимое условие условного экстремума:
Для того, чтобы точка была точкой условного экстремума функции необходимо, чтобы: 1)
;
3)
В этой системе 3х уравнений можно найти переменные , т.е. стационарную точку при фиксированном .
ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ условного экстремума: Пусть в точке возможного условного экстремума и её некоторой окрестности функция :
Причем все частные производные вычислены в стационарной точке, тогда:
1) если А>0 , то точка точка min 2) если А<0 , то точка точка max.
25. Наибольшее и наименьшее значение фнп в замкнутой и ограниченной области.
26. Определение первообразной функции. Теорема о свойствах первообразных функций.
Основной задачей интегрального исчисления является нахождение первообразной, т.е. по данной функции f(x) найти такую F(x), производная которой
Функция F(x) называется ПЕРВООБРАЗНОЙ для функции на интервале (a;b), если для всех значений х из инт. (a;b) выполняется равенство: F’(x)=f(x).
ТЕОРЕМА. Если F(x)-первообразная для f(x) на (a;b), то любая другая первообр. для f(x) на (a;b) может быть представлена в виде: F(x)+C.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть функция у(х)-первообразная для отличная от F(x). По определению первообразной
Вычтем почленно эти равенства. Получим: y’(x)-F’(x)=0. По правилу дифференцирования:
Т.е. каждая функция имеет бесконечное множество первообразных, одна из которых - F(x), а остальные F(x)+C.
27. Определение неопределенного интеграла. Теорема о существовании неопределенного интеграла (достаточное условие).
Если функция первообразная для ф-ции то множество функций , где С произвольная постоянная, называется НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ ИНТЕГРАЛОМ функции на этом интервале и обозначается .
подынтегральная функция.
- подынтегральное выражение.
- переменная интегрирования.
ТЕОРЕМА: Всякая непрерывная на интервале [a;b] функция имеет на этом интервале первообразную, а следовательно и неопределенный интеграл.
28. Таблица интегралов.
29. Свойства неопределенного интеграла.
1)
производная неопределенного интеграла = подынтегральной функции
дифференциал неопределенного интеграла = подынтегральному выражению
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1)
2) , т.к.
2) неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции = сумме этой функции т произвольной константы
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (по определению неопределенного интеграла)
3) Постоянный множитель можно вынести за знак неопределенного интеграла
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
4)неопределенный интеграл от алгебраической суммы 2х функций = алгебраической сумме интегралов от этих функций
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. – данное свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых.