- •1. Определение монотонной функции. Необходимое и достаточное условие возрастания функции. Достаточное условие строгого возрастания функции.
- •2. Определение монотонной функции. Необходимое и достаточное условие убывания функции. Достаточное условие строгого убывания функции.
- •3. Определение локального экстремума функции одной переменной. Необходимое условие локального экстремума функции одной переменной.
- •4. Определение локального экстремума функции одной переменной. Первое достаточное условие строгого локального экстремума функции одной переменной.
- •5. Определение локального экстремума функции одной переменной. Второе достаточное условие строгого локального экстремума функции одной переменной.
- •6. Определение выпуклости и вогнутости функции одной переменной (выпуклость вверх, выпуклость вниз). Достаточное условие выпуклости функции одной переменной.
- •7. Определение точки перегиба графика функции одной переменной. Необходимое условие перегиба.
- •8. Определение точки перегиба графика функции одной переменной. Достаточное условие перегиба.
- •9. Определение вертикальной и наклонной асимптоты. Нахождение наклонной асимптоты.
- •10. Наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной на замкнутом промежутке.
- •11. Формула Тейлора и формула Маклорена.
- •12. Разложение по формуле Маклорена функции , , .
- •13. Функции нескольких переменных (фнп). Основные определения. Предел фнп.
- •14. Непрерывность фнп. Основные свойства непрерывных функций.
- •15. Частные производные (определение, способы вычисления).
- •16. Частные производные старших порядков. Теорема о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.
- •17. Определение дифференцируемости фнп. Необходимое условие дифференцируемости. Теорема о связи дифференцируемости фнп и существования частных производных.
- •18. Полный дифференциал функции двух переменных.
- •19. Производные сложной функции.
- •20. Определение производной по направлению.
- •21. Определение градиента функции, линии уровня, свойства градиента.
- •22. Определение локального экстремума фнп. Необходимое условие экстремума фнп.
- •23. Определение локального экстремума фнп. Достаточное условие экстремума фнп.
- •24. Условный экстремум функции двух переменных (определение, метод подстановки и метод неопределенных множителей Лагранжа)
- •25. Наибольшее и наименьшее значение фнп в замкнутой и ограниченной области.
- •26. Определение первообразной функции. Теорема о свойствах первообразных функций.
- •27. Определение неопределенного интеграла. Теорема о существовании неопределенного интеграла (достаточное условие).
- •28. Таблица интегралов.
- •29. Свойства неопределенного интеграла.
- •30. Метод замены переменной (метод подстановки) в неопределенном интеграле.
- •31. Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
- •32. Определенный интеграл (определение, геометрический смысл).
- •33. Свойства определенного интеграла.
- •34. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу.
- •35. Формула Ньютона-Лейбница.
- •36. Метод замены переменной (метод подстановки) в определенном интеграле.
- •37. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле.
- •38. Определение несобственного интеграла первого рода (по бесконечному промежутку).
- •39. Определение несобственного интеграла второго рода (от функций, имеющих разрыв).
- •40. Понятие о дифференциальных уравнениях. Общее и частное решение. Начальные условия. Задачи Коши.
- •41. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и метод их решения.
- •42. Однородные дифференциальные уравнения.
- •43. Линейные уравнения I-порядка.
7. Определение точки перегиба графика функции одной переменной. Необходимое условие перегиба.
Точка называется точкой перегиба, если в этой точке график функции имеет касательную и существует ( ; ) в пределах которой график функции слева и справа от имеет разные направления выпуклостей.
Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ТОЧКИ ПЕРЕГИБА: пусть график функции имеет в точке перегиб, и пусть функция имеет непрерывную вторую производную, тогда значение второй производной в этой точке равно нулю.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим обратное. Тогда в силу непрерывности по свойствам функции непрерывной в точке, существует окрестность точки , в которой
/ . Тогда график функции имеет определенное направление выпуклости в этой окрестности, но это противоречит наличию перегиба в точке .
Заметим, что если , то - точка перегиба.
8. Определение точки перегиба графика функции одной переменной. Достаточное условие перегиба.
Точка называется точкой перегиба, если в этой точке график функции имеет касательную и существует ( ; ) в пределах которой график функции слева и справа от имеет разные направления выпуклостей.
Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.
ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРЕГИБА. Пусть функция имеет вторую производную в ( ; ), тогда если в пределах указанной окрестности вторая производная имеет разные знаки слева и справа от , то график функции имеет перегиб в точке (x0; f (x0).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из того, что f "(x0) слева и справа от точки x0 имеет разные знаки, то направление выпуклости графика функции слева и справа от точки x0 является различным. Это и означает наличие перегиба в точке (x0; f (x0)).
9. Определение вертикальной и наклонной асимптоты. Нахождение наклонной асимптоты.
Асимптотой функции называют прямую, к которой приближаются точки графика функции при бесконечном удалении их от начала координат. Виды асимптот: горизонтальная, вертикальная, наклонная.
Прямая – ВЕРТИКАЛЬНАЯ асимптота графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов равен . (если , или , или ) точки разрыва и граничные точки ООФ.
(Вертикальные асимптоты определяются точками разрыва функции и границами области определения.)
Для отыскания вертикальной асимптоты нужно найти те значения х, вблизи которых функция f(x) неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода.
Прямая где – НАКЛОННАЯ асимптота графика функции при если можно представить в виде: б.м. и при
1) ; , т.к.
2)
Нахождение наклонной асимптоты: 1) находим . Если lim=0 , то наклонной асимптоты нет. 2) если lim существует и конечен, вычисляем . Если lim= или не существует, то наклонной асимптоты нет, если lim существует и конечен, то асимптота имеет вид kx+b . При к=0 наклонная асимптота становится горизонтальной.