21. Определение градиента функции, линии уровня, свойства градиента.
Градиенто функции в точке называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным.
Обозначается:
или
Используя градиент производная по направлению может иметь вид: где, угол между
Т.к.
не зависит от угла
,
а
,
то:
1)max
значение
,
т.е.
2)
min
значение
,
т.е.
3)
(
след
)
Таким
образом т.к.
можно найти выбрав угол
соответствующим образом из
то значение производной по направлению
,
причем если
,
то ф. z
в направлении
возрастает, а если
- убывает
1) Значит показывает направление в котором ф возрастает быстрее всего, а вектор противоположный показывает направление в котором ф убывает быстрее всего.
2)по
формуле
, градиент функции в точке перпендикулярен
линиям уровня, проходящим через эту
точку.
ЛИНИЕЙ УРОВНЯ ф 2х переменых называется геометрическое место точек в плоскости в которых ф-я принимает одно и то же значение.
Линии
уровня ф определяются уравнением
,
где С=const(произвольная)
Линии уровня, соответствующие различным значениям С не пересекаются.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Если бы
и
пересекались, то нашлась бы точка, в
которой ф принимала бы значение
с одной стороны и
с другой, а это невозможно.
Изучая линии уровня ф можно исследовать характер изменения ф не прибегая к построению пространственного графика.
22. Определение локального экстремума фнп. Необходимое условие экстремума фнп.
Пусть
функция
определена в некоторой окрестности
точки
.
Говорят, что функция
токальный максимум или локальный
минимум если существует такая окрестность
точки
,
в которой для любой т.
,
принадлежащей этой окрестности
выполняется: 1)
– для лок max
2)
для лок min.
Точки лок max/min называются точками локального экстремума.
Следует:
если функция
, а именно:
1)лок
max,
то
2)
лок min,
то
,
т.е.
(
- полное приращение)
Верно и обратное, если в некоторой окрестности точки выполняется одно из неравенств, то функция имеет extr в точке .
НЕОБХОДИМОЕ
УСЛОВИЕ EXTR:
Если функция
частные производные 1го порядка, то в
этой точке частные производные 1го
порядка =0, т.е.
и
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Зафиксируем
одну из переменных
,
тогда функция
т.к.
по условию функция в точке
имеет extr
и существуют частыне производные 1го
порядка, то
в точке
имеет extr
и существуете производная.
необх. усл. extr
,
т.е.
.
Аналогично для
.
Точки в которых выполняется это условие – точки возможного extr (стационарные).
23. Определение локального экстремума фнп. Достаточное условие экстремума фнп.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что функция токальный максимум или локальный минимум если существует такая окрестность точки , в которой для любой т. M(x;y), принадлежащей этой окрестности выполняется: 1) – для лок max 2) для лок min.
Точки лок max/min называются точками локального экстремума.
Следует: если функция , а именно:
1)лок max, то
2) лок min, то , т.е. ( - полное приращение)
Верно и обратное, если в некоторой окрестности точки выполняется одно из неравенств, то функция имеет extr в точке .
ДОСТАТОЧНОЕ
УСЛОВИЕ ЛОК EXTR:
Пусть в
возможного extr
и некоторой её окрестности, функция
имеет непрерывные частные производные
2го порядка. Обозначим:
;
;
составляют матрицу Гессе:
Пусть
это определеитель, т.е.
Тогда:
1) если
,
то в т.
функция имеет extr
, при этом:
а) если , то точка min
б)
если
,
то
точка max
2)
если
,
то в
экстремума нет
3)
если
,
то в
extr
может быть может не быть, т.е. требуется
доп. условие/исследование.