33. Свойства определенного интеграла.

Пусть функция y=f(x) интегрируема на (a;b)

1)

, т.е. константу можно выносить за знак определенного интеграла.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Воспользуемся определением определенного интеграла.

3) Определенный интеграл от алгебраической суммы 2ух функций равен алгебраической сумме интегралов:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Для простоты доказательства докажем для суммы.

4)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: По формуле Ньютона-Лейбница

5) Свойство аддитивности интеграла.

Для любого cϵ[a;b] верно:

Пусть с- одна из точек разделения отрезка от а до b. По определению определенного интеграла:

6) Теорема о среднем.

Если функция y=f(x) непрерывна на (а;b), то на этом отрезке существует точка с , такая что :

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

7) Если функция f(x) сохраняет знак на (a;b), где a , то имеет тот же знак, что и функция. Так, если f(x)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме о среднем. ( f( c ) (b-a) )

8) Неравенство между непрерывными функциями на (a;b), где a , можно интегрировать. Так, если на (a;b), то

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. т.к. , то

Найдем интеграл:

ЗАМЕЧАНИЕ. Дифференцировать неравенства нельзя.

9)Оценка интеграла.

Если m и M соответственно наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на (a;b), где a , т.е. m , то m

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По предыдущему свойству проинтегрируем неравенства:

Для интегралов, стоящих слева и справа применим теорему о среднем:

m

ГЕОМЕТРИЧЕСКИ данное свойство означает, что если , то площадь криволинейной трапеции функции заключена между площадями прямоугольников, основания которых есть отрезок от а до b, а высоты равны m и M соответственно.

10) Теорема Барроу.

34. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу.

Рассмотрим интеграл с постоянным нижним пределом a и переменным верхним пределом x, т.е. , где . Величина этого интеграла является функцией от верхнего предела x. Обозначим интеграл как Ф(х) и назовем такую функцию как интеграл с переменным верхним пределом.

ТЕОРЕМА БАРРОУ.

Производная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

( )

Т.Е. теорема Барроу означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.

35. Формула Ньютона-Лейбница.

ТЕОРЕМА. Если функция непрерывна на (a;b) и F(x) – какая-либо первообразная на (а;b), то имеет место формула:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим

=

Перейдем к пределу в этом равенстве:

36. Метод замены переменной (метод подстановки) в определенном интеграле.

Методом подстановки (заменой переменной) называется метод, при котором введение новой переменной позволяет свести исходный интеграл к табличному.

Пусть для вычисления интеграла сделана подстановка

ТЕОРЕМА. Если выполнены следующие условия: 1) , - непрерывны при любой

2) множество значений функции при являются отрезком [a;b].

3) ;

тогда

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть – первообразная для следовательно

Т.к. , то . Найдем производную функции

Следовательно функция И значит если мы будем находить , чтд.

ЗАМЕЧАНИЕ. 1)При вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется.

2) Не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.