14. Непрерывность фнп. Основные свойства непрерывных функций.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ 2Х ПЕРЕМЕННЫХ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Пусть функция определена в некоторой окрестности точки М0. функция f(M) называется непрерывной в точке М0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: функция, непрерывная в каждой точке некоторой области называется непрерывной на всей этой области.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Точки в которых нарушается непрерывность называются точками разрыва.

Функция, z=f(x,y) называется НЕПРЕРЫВНОЙ В ТОЧКЕ , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Множество D точек плоскости называется СВЯЗНЫМ, если его можно соединить непрерывной линией состоящей из точек данного множества.

Точка М называется ВНУТРЕННЕЙ ТОЧКОЙ МНОЖЕСТВА D, если существует  окрестность данной точки, состоящая из точек данного множества.

Множество D состоящее лишь из внутренних точек называется ОТКРЫТЫМ.

Связное открытое множество D называется открытой областью.

Точка М называется граничной точкой области. Если в любой её  окрестности есть точки, как принадлежащие, так и не принадлежащие этой области.

Множество точек образованное областью и её границей называется ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТЬЮ.

Множество D называют ОГРАНИЧЕННЫМ, если существует круг, внутри которого оно находится.

ОСНОВЫНЕ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ: 1) если функция z=f(M) непрерывна в замкнутой, ограниченной области, то она ограничена в этой области, т.е. существует такое K, что |f(M)|<K; 2) если функция z=f(M) непрерывна в замкнутой, ограниченной области, то она имеет такие точки в этой области, в которых принимает наибольшее и наименьшее значения; 3) если функция z=f(M) непрерывна в замкнутой, ограниченной области, то она принимает хотя бы в одной точке области любые численные значения между наибольшим и наименьшим.

15. Частные производные (определение, способы вычисления).

Рассмотри функцию z=f(M) в некоторой окрестности точки М. Придадим переменной х произвольное приращение , оставляя у неизменным, т.е. перейдем на плоскости от точки М(х;у) к точке М(х+ . Тогда приращение , т.е. называется частным приращением функции z по переменной х. Аналогично .

Если существует lim отношения частного приращения ф z по переменной х к приращению аргумента х(х ф z по переменой х и обозначается аналогично

16. Частные производные старших порядков. Теорема о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.

Пусть частные производные определены в окрестности точки М. Если существует частная производная от ф. по переменной x , т.е. ( , то такая производная называется 2ой производной функции по переменной x: ( ; (g 2z по gx дважды)