19.Теоретико-множественный смысл произведения целых неотриц-х чисел. Определение произв-я через сумму. Законы умножения.

Произведением 2х цнч a и b назыв. ц.н.ч. а*в,кот.удовлетворяют условию

1)Если в>1, то а*в=а+а+……+а − b

2)если же в=1, то а*1=а,

3)если в=0, то а*0=0.

Теоретико-множественный смысл этого опред-я a-b−это число эл-тов в объединен.b непересек.мн-в, в кажд.из кот.содерж.a эл-тов.

Действие при помощи кот.нах.произвед.a и b наз.умножением,а числа множителями. Произведение цнч всегда существует и единственно.

Произведение 2х цнч а и в можно рассмотреть как число эл-тов декартового произвед.мн-в a и b, где n(А)=а, n(В)=в. а*в=n(А*В), где а=n(А), в=n(В).

Пусть произвед.2ух множителей опред.и опред.произвед.n множ-ей,тогда произвед. состоит из n+1 мн-ва a₁∙a₂∙…∙a_n∙a_n+1=( a₁∙a₂∙…∙a_n)∙a_n+1

Законы умножения:

1) Камутативный. Для любых ц.н.ч. а и в. a∙b=b∙a Док-во: a∙b=_{опр.умн.}n(A∙B)=b∙a

2) Ассоциативный.Для любых цнч abc справедливо равенство (a∙b)∙c=a∙(b∙c) Док-во: (a∙b)∙c=_{опред.умн.}n((A∙B)∙C)=n(A∙(B∙C))= a∙(b∙c)

3)Дистрибутивный закон «*» относит. «+» a=n(A),b=n(B),c=n(C) A∩B=Ø

(a+b)∙c=a∙c+b∙c

Дистрибутивный относ-но «-» для любых цнч abc и a≥b равенство:

(a-b)∙c=a∙c-b∙c

4) переместительный и сочитательные законы умножения можно распр. На любое число мн-лей. В нач.курсе мат.переместительное св-во умн. Используется при составл. таблицы умножения однозначных чисел. Ассоциативный закон исп.вместе с коммутативным при умн.числа на произведение. Дистрибутивный закон умн.относительно слож.рассматр.на конкретн.примерах и носит наз.умножение числа на сумму и сумму на число.

20.Теоретико- множественный смысл частного целого неотриц-го числа и натур-го. Опред-ие частного через произведение. Условие сущ-ия частного на мн-ве натур-х чисел.

Определение: Пусть дано мн-во А,n(А)=а и мн-во А разбито на равномощные непересек-иеся подм-ва. Если в –число подм-в в разбиении мн-ваА,то частных чисел а и в наз-ся число эл-ов каждого подм-ва. Если в –число эл-ов каждого подм-ва в разбиении мн-ва А, то частнм чисел а и в наз-ся число подм-в в этом разбиении. Опред-ие: Частным цел-го неотр-го числа а и натур-го числа в наз-ся такое целое неотриц-ое число с, произведение кот. и числа в дает число а. а:в=с «=»с*в=а Условие существования частного: Теорема: Для того, чтобы частное 2х натуральных чисел сущ-ло, необ-мо чтобы а>в.Теорема: если частное 2х цел. неотриц. чисел сущ-т, то оно единст-ое.

21. Отношение делимости на множестве натуральных чисел, его св-ва. Теоремы о делимости суммы, разности и произведения целых неотриц. Чисел.

Определение: Натур. Число а : на N ч. в когда если остаток от деления ч. а на ч. в равен «0». Св-ва: 1) отно-е дел-ти на мн-ве N-чисел рефлексивно (в отн-и дел-ти с самим собой). 2) отнош-е дел-ти на мн-ве Nчисел антиссиметрично. 3) Транзитивность ( а,в,с принад-т N), а:в, в:с=»а:с 4) отнош-е дел-ти на мн-ве Nч. Явл.отнош-е нестрогого частичного порядка. Теорема делимости суммы: Если кажд. Слог-ое суммы : на N ч. суммы, то и сумма : на это число. а:с, в:с=»(а+в):с Теорема 2: Если 1-ое слогаемое суммы не делится на N ч. с, то сумма этих чисел не : на ч. с.Теорема о делимости разности: если умень-ое а и вычитаемое в : на данное ч. с и ч. а >ч. в, то разность ч-л а и в : на с. Теорема о делимости произведения: если хотябы 1 из множ-ей произ-я : на данное ч. с, то произ-е : на это число. Теорема 2: если в произ-и а*в 2-ух множ-ей 1-н : на ч. с, а 2 на д, то произ-е ав:сд.