17. Теоретико-множественный смысл суммы 2х ц.Н.Ч. Законы сложения.

Рассмотрим 1 задачу:

А-3 гр.

? Чтобы ответить на вопрос задачи,надо объединить 2 мн-ва грибов и сосчитать сколько эл-тов в объединении.

М-4 гр.

2 задача:

А={a,b,c,d} n(A)=4

B={c,x,y} n(B)=3

AUB={a,b,c,d,x,y}(AUB)=6≠4+3

В этой задаче мн-ва А и В пересек. и n(AUB)≠n(A)+n(B)

Суммой 2х ц.н.ч. а и в назыв. число эл-ов в объединении непересек-ся мн-в А и В таких,что n(A)=а и n(B)=в

a+b=n(AUB), A∩B=Ø, n(A)=а , n(B)=в

Сумма цнс всегда существует и единственна(=>из сущ-ти и един-ти объедин.2 мн-в) Действия при помощи кот.находят сумму наз.сложением, а числа- слагаемыми

Пример: польз. опред-ем суммы, показ., что 3+2=5

Пусть опр.сумма 2 слагаем. и сумма n слагаем.

Тогда сумма n+1 слог. = a₁+ a₂+….+ a_n+ a_n+1=( a₁+ a₂+….+ a_n)+ a_n+1

В нач.курсе матем.сложение цнс вводится на основании упр.связан.с объединением 2 мн-в предметов

Законы сложения:

1. камутативный (переместительный) для любых цнч a и b выполн. а+b=b+а

док-во: Пусть а= n(A), b=n(B),тогда

а+b=_{опре.суммы}n(AUB)=_{переем.закон для объед.мн-в}=опред.сложен.=b+a

2)ассоциативный(сочитательный) для любых цнч a и b выполн.равенство

(a+b)+c=a+(b+c) Пусть a=n(A),b=n(B),c=n(C) A∩B≠Ø, B∩C=Ø

(a+b)+c=n(AUB)+n(C)=>_{по оред.суммы}=n((AUB)UC)=>_{по опред.суммы}

Используем ассоциат.закон для объединения мн-в n((AUB)UC)=n(AU(BUC))

n(AU(BUC))=_{опред.слож.цнч}=n(A)+n(BUC)=a+(b+c)

Перем. и сочит. Законы можно обобщить на любое число слогаемых. С перем.законом сложения уч-ки знакомятся при составлении таблиц сложения однозначных чисел.Сочит.закон использ.при изучении приёмов прибавления по частям: 3+2=3+(1+1)=(3+1)+1

Комут-й и ассоц. з-ны справедливо для люб. кол-ва слогаемых при люб. перестан-ке слог-х и люб. их группировке сумма не меняется.

18. Теоретико- множественный смысл разности целых неориц-х чисел. Определение разности через сумму. Условие сущ-ия разности на мн-ве ц.Н.Ч.

Около школы посадили 8 деревьев: берёзы и рябины. Берёз-3.Сколько рябин посадили? Среди посаженных деревьев 3 берёзы,тогда оставш.деревья рябины их 8 без 3. 8-3=5

Разностью 2х ц.н.ч. а и в наз. число эл-ов в дополнении мн-ва В до мн-ва А при усл.,что а=n(А),в=n(В), ВсА. a-b=n(B'_A), n(A)=a, n(B)=b, BcA

Действия при помощи кот.нах.разность а-b наз. вычитанием, число а-уменьшаемым,b-вычитаемым.

Разностью 2х ц.н.ч. a и bназыв. такое ц.н.ч. с, сумма кот числа в дает а.

а-в=с <=>с+в=а, с принадл-ит Nо, с-разность а и в, а- уменьшаемое, в- вычитаемое.

Теорема усл. сущ-я «-»: «-» 2х н.ч. а и в, сущ-ет тогда и только тогда, когда b≤a. Док-во:

1) b≤a => а-в сущ-ет b=a=>a-b=0- a-b-сущ. b<a=>знач.сущ.такое число с,b+c=a =>a-b=c-сущ.

2) a-b – сущ.=> b≤a

a-b=c, a=b+c

c=0=>a=b b≤a

c>0=>Øиз опред.отн.«<» => b<a

Если разность ц.н.ч. сущ-ет, то она един-на.

Док-во: Пусть существует 2 знач.разности a-b=c₁, a=b+c₁

=>b+c₁=b+c₂=>c₁=c₂

a-b=c₂, a=b+c₂

В нач.классах разность рассматрив.на основании упр. связанных с выделением подмн-в данного мн-ва. Правило вычитания числа из суммы: чтобы вычесть число из суммы достаточно вычесть это число из одного из слагаемых суммы и к получ.результату+ другое слагаемое.

Правило вычитания суммы из числа: чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа послед.кажд.слагаемое одно за другим.

a-(b+c)=(a-b)-c